갈루아 확대

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갈루아 이론에서, 갈루아 확대(영어: Galois extension)는 갈루아 군을 정의할 수 있는 체의 확대이다.

정의[편집]

대수적 확대 L/K가 다음 조건을 충족시킬 경우, 이를 갈루아 확대라고 한다.

  • (정규성 영어: normality) 기약 다항식 p\in K[x]의 근 가운데 적어도 하나가 L에 포함된다면, p의 모든 근들이 L에 포함된다. (이 조건을 만족시키는 체의 확대를 정규확대라고 한다.)
  • (분해가능성 영어: separability) 모든 a\in L에 대한 최소 다항식(영어: minimal polynomial)의 각 기약 인자들의 근들이 서로 겹치지 않는다. (이 조건을 만족시키는 체의 확대를 분해가능확대라고 한다.)

성질[편집]

유한 차수 [L:K]체의 확대 L/K의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다. 이 정리는 에밀 아르틴이 증명하였다.

  • L/K는 갈루아 확대이다.
  • L/K는 정규 분해가능 확대이다.
  • L은 근이 겹치지 않는 (즉, 분해가능한) 어떤 다항식 p\in K[x]분해체이다.
  • [L:K]=|\operatorname{Aut}(L/K)|이다. 즉, 체의 확대의 차수 [L:K]=\dim_KL는 체의 확대의 자기동형군의 크기와 같다.

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유리수체 \mathbb Q의 확대들을 생각하자.

  • \mathbb Q(\sqrt2)는 갈루아 확대이다.
  • \mathbb Q(\sqrt[3]2)는 정규확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 x^3-2\in\mathbb Q[x]의 세 근 가운데 오직 하나만을 포함한다.
  • \mathbb Q(\pi)대수적 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 원주율 \pi초월수이기 때문이다.

(유리수체의 경우, 모든 대수적 확대는 분해가능하다.)

참고 문헌[편집]

  • Bewersdorff, Jörg (2006). 《Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective》. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2
  • Lang, Serge (1994년). 《Algebraic Number Theory》. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4
  • Rotman, Joseph (1998년). 《Galois Theory》, 2판, Springer. ISBN 0-387-98541-7
  • Völklein, Helmut (1996). 《Groups as Galois groups: an introduction》. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56280-5
  • Funkhouser, H. Gray (1930년). A short account of the history of symmetric functions of roots of equations. 《American Mathematical Monthly》 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Postnikov, M.M. (2001). Galois theory. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.