정규 확대

체론에서 정규 확대(正規擴大, 영어: normal extension)는 일련의 다항식들의 분해체인 대수적 확대이다.

정의[편집]

체 $K$ 의 대수적 확대 $L/K$ 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수적 확대를 정규 확대라고 한다.

$K[x]$ 의 기약 다항식 $p(x)$ 가 $L$ 에서 적어도 하나의 근을 갖는다고 하면, $p(x)$ 는 $L[x]$ 에서 완전히 인수분해된다. 즉, $p(x)=a\prod _{i=1}^{n}(x-b_{i})$ ( $a,b_{i}\in L$ )의 꼴로 나타낼 수 있다.
$L/K$ 는 일련의 다항식들의 집합 $P\subset K[x]$ 의 분해체와 ( $K$ 의 확대로서) 동형이다.
모든 매장 $L\to {\bar {K}}$ 는 $L$ 의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 $\iota _{KL}\colon K\to L$ 로 쓰자. $K$ 의 대수적 폐포 $\iota _{K{\bar {K}}}\colon K\hookrightarrow {\bar {K}}$ 로 가는 매장 $\iota _{L{\bar {K}}}\colon L\hookrightarrow {\bar {K}}$ 이 주어졌다고 하고, 또한 $\iota _{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}$ 라고 하자. 또한, $L$ 은 대수적 확대이므로, 그 최소 다항식들로부터 매장 ${\tilde {\iota }}_{LK}\colon L\to K$ 를 정의할 수 있다. 그렇다면 $\iota _{L{\bar {K}}}(L)={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)\subset {\bar {K}}$ 이다.

체 $K$ 의 유한 차수 대수적 분해 가능 확대 $L/K$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

대수적 확대 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ 는 정규 확대이다.

대수적 확대 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q}$ 는 정규 확대가 아니다. $\mathbb {Q} [x]$ 의 기약 다항식 $x^{3}-2$ 는 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 에서

x^{3}-2=(x-{\sqrt[{3}]{2}})\left(x^{2}+{\sqrt[{3}]{2}}x+({\sqrt[{3}]{2}})^{2}\right)

이므로 하나의 근을 갖지만 완전히 인수분해되지 않는다.

Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

“Normal extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Normal extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.