분해체

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대수적 수론에서, 주어진 다항식분해체(分解體, 영어: splitting field)는 그 다항식을 완전히 인수 분해할 수 있는 체의 확대 중 가장 작은 것이다.

정의[편집]

K라고 하고, p(x)가 하나의 변수에 대한 n다항식이라고 하자. 그렇다면 pK에 대한 분해체 L은 다음을 만족시키는 K확대이다.

  1. 다항식 pp(x)=\prod_{i=1}^{\deg p}(x-a_i)\in L[x]로 완전 인수 분해된다.
  2. L은 위 성질은 만족시키는 체의 확대 가운데 그 차수(degree)가 가장 작다.

이 성질은 만족시키는 체의 확대은 (동형사상을 제외하면) 유일함을 보일 수 있다.

분해체는 다음과 같이 나타낼 수 있다. K에 대한, 기약다항식 p의 분해체 L은 다음과 같다.

L\cong K[x]/(p(x))

여기서 (p(x))p(x)에 의해 생성되는 K[x]의 기약 아이디얼이다.

기약이지 않은 다항식 p의 경우, 기약다항식들의 곱

p=f_1f_2\dots f_k

으로 인수 분해하여 분해체 L

K_0=K
K_{i+1}=K_i[x]/(f_i(x))
L=K_k

로 나타낼 수 있다.

[편집]

복소수체 \mathbb C는 실수체 \mathbb R에 대하여 기약다항식 x^2+1의 분해체다. 즉,

\mathbb C\cong\mathbb R[x]/(x^2+1)

이다.

유리수체 \mathbb Q에 대하여 기약다양식 x^2+2의 분해체는

\mathbb Q(\sqrt[3]2,\exp(2\pi i/3))

이다.