주 아이디얼 정역

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

가환대수학에서, 주 아이디얼 정역(主ideal整域, 영어: principal ideal domain, 약자 PID)은 모든 아이디얼이 하나의 원소로 생성되는 정역이다.

정의[편집]

주 아이디얼 정역은 다음 조건을 만족시키는 정역 R이다.

  • 임의의 아이디얼 \mathfrak a\subseteq R에 대하여, (a)=\mathfrak aa\in R가 존재한다.

즉, 주 아이디얼 정역은 모든 아이디얼이 주 아이디얼인 정역이다.

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환정역정수적으로 닫힌 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역

주 아이디얼 정역의 임의의 두 원소 a,b에 대해, 이 둘로 생성되는 아이디얼 (a,b)의 생성원은 a와 b의 최대공약수가 된다.

모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이다.

모든 환에서 임의의 극대 아이디얼소 아이디얼인데, 주 아이디얼 정역에서는 그 역이 '거의' 성립한다. 즉, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

소 아이디얼 위의 가군[편집]

주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군은 항상 극소 생성 집합을 갖는다. 이는 상의 유한 차원 벡터 공간기저를 갖는다는 사실의 일반화이다.

소 아이디얼 정역 R 위의 임의의 유한 생성 가군 M은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

M\cong\bigoplus_i R/(q_i)

여기서 (q_i)R으뜸 아이디얼이다. 이를 M으뜸 분해(언어 오류(primary decomposition): {{{2}}})라고 하며, 유일하다.

소 아이디얼 정역 R 위의 임의의 유한 생성 가군 M은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

M\cong\bigoplus_{i=1}^n R/(d_i)
1\ne d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_n

여기서 (d_i)R의 아이디얼들이며, 유일하다. 이를 M불변 인자 분해(언어 오류(invariant factor decomposition): {{{2}}})라고 한다.

[편집]

  • 정수 계수 다항식환 \mathbb Z[x]는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 (2,x)가 주 아이디얼이 아니기 때문이다.
  • 유리수 계수 다항식환 \mathbb Q[x]는 주 아이디얼 정역이다.
  • K에 대하여, K[x,y]는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 (x,y)가 주 아이디얼이 아니기 때문이다.

\mathbb Z\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]

는 주 아이디얼 정역이지만 유클리드 정역이 아니다.[1]

K가 임의의 체일 때, 다항식환 K[x,y]유일 인수 분해 정역이지만 주 아이디얼 정역이 아니다. 예를 들어, (x,y)주 아이디얼이 아니다.

참고 문헌[편집]

  1. Wilson, Jack C. "A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring." Math. Mag 46 (Jan 1973) 34-38 [1]

바깥 고리[편집]