주 아이디얼 정역

가환대수학에서 주 아이디얼 정역(主ideal整域, 영어: principal ideal domain, 약자 PID)은 모든 아이디얼이 하나의 원소로 생성되는 정역이다.

정의

주 아이디얼 환

주 오른쪽 아이디얼 환(영어: principal right ideal ring)은 모든 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼(즉, $r\in R$에 대하여 $rR$의 꼴)인 환이다. 주 왼쪽 아이디얼 환(영어: principal left ideal ring)은 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼(즉, $r\in R$에 대하여 $Rr$의 꼴)인 환이다. 가환환의 경우 이 두 개념이 일치하며, 주 아이디얼 가환환(영어: principal ideal commutative ring)이라고 한다.

주 아이디얼 정역

정역 $D$에 대하여 다음 조건들을 정의하자.

• (B) 베주 정역이다. 즉, 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다.
• (D) 데데킨트 정역이다.
• (UFD) 유일 인수 분해 정역이다.
• (N) 뇌터 환이다.

정역 $D$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 주 아이디얼 정역이라고 한다.

• 주 아이디얼 환이다.
• 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.
• (N) + 모든 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.^{:486, Theorem 12.3}
• (UFD) + (D)^{:56, Exercise §2.10}
• (UFD) + (B)
• (UFD) + 크룰 차원이 1 이하이다.^{:311, Exercise 5.17}
• (UFD) + 모든 아이디얼이 평탄 가군이다.^{:164, Exercise §4.51}
• (UFD) + 모든 꼬임 없는 가군(영어: torsion-free module)은 평탄 가군이다.^{:164, Exercise §4.51}
• (B) + (N)
• (B) + 주 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
• 적어도 하나 이상의 데데킨트-하세 노름을 갖는다.
• (D) + 피카르 군이 자명군이다.^{:56, Exercise §2.10}
• 모든 아이디얼이 자유 가군이다.^:273
• 자유 가군의 부분 가군은 자유 가군이다.^{:639, Theorem 8.9(i)}

가환환 $R$ 위의 데데킨트-하세 노름(영어: Dedekind–Hasse norm) $f\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 $r,s\in R\setminus \{0\}$에 대하여, $r\mid s$이거나 아니면 $f(r)<f(t)$인 $t\in (r,s)$가 존재한다. (여기서 $(r,s)=rR+sR$는 $r$와 $s$로 생성되는 아이디얼이다.)

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

주 아이디얼 정역의 임의의 두 원소 $a,b$에 대해, 이 둘로 생성되는 아이디얼 $(a,b)$의 생성원은 a와 b의 최대공약수가 된다.

모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이다.

모든 환에서 임의의 극대 아이디얼은 소 아이디얼인데, 주 아이디얼 정역에서는 그 역이 '거의' 성립한다. 즉, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 기하학적으로, 이는 크룰 차원이 1이하라는 것을 뜻한다. 보다 일반적으로, 이 조건은 데데킨트 정역에서도 성립한다.

주 아이디얼 정역 위의 가군

주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군은 항상 극소 생성 집합을 갖는다. 이는 체 상의 유한 차원 벡터 공간이 기저를 갖는다는 사실의 일반화이다.

주 아이디얼 정역 $R$ 위의 임의의 유한 생성 가군 $M$은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$M\cong \bigoplus _{i}R/(q_{i})$

여기서 $(q_{i})$는 $R$의 으뜸 아이디얼이다. 이를 $M$의 으뜸 분해(영어: primary decomposition)라고 하며, 유일하다.

주 아이디얼 정역 $R$ 위의 임의의 유한 생성 가군 $M$은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/(d_{i})$

$R^{\times }\not \ni d_{1}\mid d_{2}\mid \cdots \mid d_{n}$

여기서 $(d_{i})$는 $R$의 아이디얼들이며, 유일하다. 이를 $M$의 불변 인자 분해(영어: invariant factor decomposition)라고 한다.

분류

자리스키-사뮈엘 정리(영어: Zariski–Samuel theorem)에 따르면, 모든 주 아이디얼 가환환 $R$는 다음과 같은 꼴의 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.^{:245, Theorem 33}

$R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}$

여기서

• 각 $R_{i}$는 주 아이디얼 정역이거나 아니면 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환이다.

헝거퍼드 정리(영어: Hungerford theorem)에 따르면, 모든 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환 $R$는 이산 값매김환의 몫환이다.

예

• 임의의 체는 주 아이디얼 정역이다.
• 정수환 $\mathbb {Z}$는 주 아이디얼 정역이다.
• 가우스 정수환 $\mathbb {Z} [i]$와 아이젠슈타인 정수환 $\mathbb {Z} [\exp(2\pi i/3)]$는 주 아이디얼 정역이다.
• $K$가 체일 때, $K$ 위의 일변수 다항식환 $K[x]$는 주 아이디얼 정역이다.

반례

정수 계수 다항식환 $\mathbb {Z} [x]$는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 $(2,x)$가 주 아이디얼이 아니기 때문이다. 체 $K$에 대하여, $K[x,y]$는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 $(x,y)$가 주 아이디얼이 아니기 때문이다.

가환환

$\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]$

는 주 아이디얼 정역이지만 유클리드 정역이 아니다.

$K$가 임의의 체일 때, 다항식환 $K[x,y]$는 유일 인수 분해 정역이지만 주 아이디얼 정역이 아니다. 예를 들어, $(x,y)$는 주 아이디얼이 아니다.

주 오른쪽 아이디얼 영역이 아닌 주 왼쪽 아이디얼 영역

나눗셈환 $K$ 위의 $\sigma \colon K\to K$가 자기 준동형이지만 자기 동형이 아니라고 하자. 그렇다면 힐베르트 뒤틀린 다항식환(영어: Hilbert’s twisted polynomial ring)^{:9, Example 1.7}

$K[x;\sigma ]=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}\colon n\in \mathbb {N} ,\;a_{i}\in K\}$

$xa=\sigma (a)x\qquad \forall a\in K$

는 다음 성질들을 만족시킨다.^{:21, Example 1.25}

• 주 왼쪽 아이디얼 환이다. (따라서 왼쪽 뇌터 환이다.)
• 영역이다.
• 가환환이 아니다.
• 오른쪽 뇌터 환이 아니다. (따라서 주 오른쪽 아이디얼 환이 아니다.)

따라서, 영역의 경우에도 주 왼쪽/오른쪽 아이디얼 환 조건이 서로 다르다.

역사

1949년에 토머스 모츠킨(영어: Thomas Motzkin)이 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예를 최초로 제시하였다.

자리스키-사뮈엘 정리는 1958년에 오스카 자리스키와 피에르 사뮈엘(프랑스어: Pierre Samuel)이 증명하였다.^{:245, Theorem 33}

헝거퍼드 정리는 1968년에 토머스 윌리엄 헝거퍼드(영어: Thomas William Hungerford)가 증명하였다.

외부 링크

• “Principal ideal ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Principal ideal domain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Principal ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Principal ideal ring”. 《nLab》 (영어). 
• “Principal ideal domain”. 《Commalg》 (영어). 
• “Principal ideal ring”. 《Commalg》 (영어). 
• “Definition: principal ideal domain”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “An integral domain whose every prime ideal is principal is a principal ideal domain”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 11월 3일. 
• “Exhibit a ring which is a union of PIDs but is not itself a PID”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 12월 16일. 
• “PIDs are precisely those UFDs which are also Bezout domains”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 11월 16일. 
• “Rings of fractions over a PID are PIDs”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 11월 5일. 
• “Every quotient of a PID by a prime ideal is again a PID”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 10월 31일. 
• “Integral domains satisfying Bezout’s identity and having divisibility-minimal elements are PIDs”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 11월 1일.