몫환

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몫환(factor ring)또는 상환(商環)은 수학환론에서 나오는 개념으로, 군론몫군이나 선형대수학몫공간과 유사한 역할을 한다. R이 이고 I가 양측 아이디얼일 때, R을 I로 나눈 몫환 R/I는 대략적으로 말하면 R에서 I의 원소들을 전부 0으로 놓은 것과 같다.

정의[편집]

R이 환이고 I가 양측 아이디얼일 때 다음과 같이 동치관계 ~를 정의한다:

a ~ b일 필요충분조건은 b - a가 I의 원소.

아이디얼의 성질을 이용해, ~가 합동관계임을 간단히 확인할 수 있다. a ~ b인 경우, a와 b가 'I를 법으로 합동'이라고 한다. a의 동치류는 다음과 같다:

[a] = a + I := { a + r : r은 I의 원소 }.

여기에서 모든 동치류들의 집합을 R/I로 적는다. 이 집합의 원소인 동치류들에 대해 아래와 같이 연산을 정의한다:

  • (a + I) + (b + I) = (a + b) + I.
  • (a + I)(b + I) = (ab) + I.

이때 R/I는 환이 되며, 이를 R을 I로 나눈 몫환이라고 한다. (물론, 여기에서 각 연산이 잘 정의되어 있다는 것을 증명해야 한다. 몫군의 경우를 참고할 것.) R/I의 덧셈과 곱셈에 대한 항등원은 각각 0 + I와 1 + I이다.

R에서 R/I로 가는 함수 p를 p(a) = a + I로 정의하면 이는 환의 전사 준동형사상이 되며, 이를 자연스러운 몫사상이라고 한다.

함께 보기[편집]