멱영군

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군론에서, 멱영군(冪零群, 영어: nilpotent group)은 아벨 군에 가까운 이다. 구체적으로, 충분히 많은 수의 교환자를 취하면 단위원이 되는 군이다.

정의[편집]

G하중심열(下中心列, 영어: lower central series)

G=G_0\triangleright G_1\triangleright G_2\triangleright\cdots

은 다음과 같다.

G_0=G
G_{n+1}=[G_n,G]

G상중심열(上中心列, 영어: upper central series)

1=Z_0\triangleright Z_1\triangleright Z_2\triangleright\cdots

은 다음과 같다.

Z_0=1
Z_{n+1}=\{x\in G\colon [x,G]\subset Z_n\}

상중심열에서 Z_1은 군 G중심 Z(G)이다.

임의의 군 G에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다. 멱영군은 이 조건을 만족시키는 군이다.

  • 하중심열이 유한하다. 즉, G_{n+1}=1인 음이 아닌 정수 n이 존재한다.
  • 상중심열이 유한하다. 즉, Z_{n+1}=G인 음이 아닌 정수 n이 존재한다.

이를 만족하는 가장 작은 n이 주어지면, Gn류 멱영군(영어: nilpotent group of class n)이라고 한다.

[편집]

  • 아벨 군은 0류 멱영군이다.
  • 사원수군 Q_8은 2류 멱영군이다.
  • 유한 개의 멱영군의 직곱(direct product)은 멱영군이다.
  • 모든 유한 멱영군은 p-군 (단위원이 아닌 모든 원소의 계수(order)가 소수 p인 군)의 직곱으로 나타낼 수 있다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Hungerford, Thomas Gordon (1974년). 《Algebra》. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9
  • (영어) Von Haeseler, Friedrich (2002년). 《Automatic Sequences》, De Gruyter Expositions in Mathematics 36. Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6
  • (영어) Isaacs, I. Martin (2008년). 《Finite group theory》. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3
  • (영어) Tabachnikova, Olga, Geoff Smith (2000년). 《Topics in Group Theory》, Springer Undergraduate Mathematics Series. Berlin: Springer. ISBN 1-85233-235-2