교환자

교환자(commutator)란 수학에서 어떤 이항연산에 대해 교환법칙이 성립하는지를 알려주는 연산자이다. 환론과 군론에서 정의가 다르다.

환론

환 또는 결합적 대수의 두 원소 $a$와 $b$에 대한 교환자는 다음과 같이 정의된다.

$[ a,b ] := ab - ba$

이 값이 0이면 두 원소 $a$와 $b$에 대한 교환법칙이 성립한다. 선형대수학에서는 어떤 공간의 자기준동형사상이 한 기저에 관한 교환법칙이 성립하는 행렬들로 표현이 가능하면, 그 행렬들은 모든 기저에 의해 표현된다.

교환자를 리 괄호로 쓰면, 모든 결합적 대수는 리 대수로 바뀌게 된다.

힐버트 공간에서의 두 연산자에 대한 교환자는 양자역학에서 중요한 개념중의 하나인데, 연산자로 기술되는 두 관측가능량이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이기 때문이다. 하이젠베르크의 불확정성원리는 이런 교환자에 대한 성질을 설명하는 원리이다.

성질

이 교환자는 다음과 같은 성질을 가지고 있다.

리 대수 관계

• $[A,A] = 0$
• $[A,B] = - [B,A]$
• $[A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0$

두 번째 관계는 반대칭성이라고 불리고, 세 번째 관계는 야코비 항등식이라고도 불린다.

다른 관계들

• $[A,BC] = [A,B]C + B[A,C]$
• $[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B$
• $[A,BC] = [AB,C] + [CA,B]$
• $[ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC$
• $[[[A,B], C], D] + [[[B,C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]]$

만약 $A$가 환 $\scriptstyle\mathfrak{R}$에서의 고정된 원소이면, 첫 번째 관계는 $\scriptstyle B \mapsto [A,B]$에 의해 주어진 사상 $\scriptstyle D_A: R \rightarrow R$에 대한 일종의 라이프니츠 규칙이 된다. 다시 말하면, 사상 $D_A$는 환 $\scriptstyle\mathfrak{R}$에서의 미분을 정의한다.

또한 다음과 같은 교환자에 대한 항등식이 있다. 베이커-캠벨-하우스드로프 공식의 특별한 경우로 가끔 유용하게 쓰인다.

• $e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+\cdots$

군론

군 G의 두 원소 g와 h에 대한 교환자는 다음과 같이 정의된다.

$[ g,h ] := g^{-1} h^{-1} gh$

여기서, 두 원소 $g$와 $h$에 대한 교환법칙이 성립한다는 것은 군의 동일함과 같다(즉, $gh = hg$).

G의 부분군은 G의 유도된 군 또는 교환자 부분군이라 불리는 모든 교환자에 의해 생성된다. 일반적으로 교환자의 집합은 군 연산에 대해 닫혀있지 않으므로 어떤 교환자의 집합에 의해 생성된 부분군을 고려할 때는 유의하자. 또한, 교환자는 거듭제곱이 영인 군 또는 가해군을 정의하는 데 쓰일 수도 있다.

위의 정의는 주로 군 이론가들이 사용하는 정의이다. 많은 수학자들은 교환자를 다음과 같이 정의하여 사용하기도 한다.

$[ g,h ] \,\equiv\, ghg^{-1} h^{-1}$

성질

교환자에 대한 여러 성질은 군론에서 중요한 도구중의 하나이다. 여기서 $a^x$라 표기된 부분은 $x^{-1} a x$를 나타낸다.

• $x^y = x[x,y]$
• $[y,x] = [x,y]^{-1}$
• $[x y, z] = [x, z]^y \cdot [y, z]$ and $[x, y z] = [x, z] \cdot [x, y]^z$
• $[x, y^{-1}] = [y, x]^{y^{-1}}$ and $[x^{-1}, y] = [y, x]^{x^{-1}}$
• $[[x, y^{-1}], z]^y \cdot [[y, z^{-1}], x]^z \cdot [[z, x^{-1}], y]^x = 1$ 과 $[[x,y],z^x][[z,x],y^z][[y,z],x^y]=1$

여기서 마지막 성질은 홀-위트 항등식으로도 알려져 있다. 이는 환론에서의 교환자에서의 야코비 항등식과 유사한 군론에서의 항등식이다.

위에서 $a^x$에 대한 정의는 주로 군 이론가들이 사용하는 정의이다. 많은 다른 수학자들은 위를 $xax^{-1}$로 정의하여 사용하기도 한다. 이는 보통 ${}^x a$ 로 나타낸다. 비슷한 성질이 이 정의에서도 성립한다.

A wide range of identities are used that are true modulo certain subgroups. 이는 가해군과 거듭제곱이 영인 군을 다룰 때 유용하다. 예를 들어, 어떤 그룹의 제곱은 다음과 같이 행동한다.

$(xy)^2 = x^2y^2[y,x][[y,x],y]$

만약 유도된 부분군이 중심이면,

$(xy)^n = x^n y^n [y,x]^{\binom{n}{2}}$

이 된다.

차수 붙은 환과 대수

차수 붙은 대수에서는 교환자가 동차의 성분으로 정의되는 차수 붙은 교환자로 주로 대체된다.

$[\omega,\eta]_{gr} := \omega\eta - (-1)^{\deg \omega \, \deg \eta} \eta\omega$

미분

다중의 교환자를 다루는 특별한 경우엔, 다음과 같은 딸림표현이 유용하게 사용되기도 한다.

$\mathrm{ad}(x)(y) = [x, y]$

이 때, $\mathrm{ad}(x)$는 미분이 되고 $\mathrm{ad}$ 은 선형 (즉, $\mathrm{ad}(x+y) = \mathrm{ad}(x) + \mathrm{ad}(y)$ 이고 $\mathrm{ad}(\lambda x)=\lambda \mathrm{ad}(x)$) 이 되고, 리 대수 준동형 (즉 $\mathrm{ad}([x, y])=[\mathrm{ad}(x), \mathrm{ad}(y)]$) 이 된다. 하지만 이는 언제나 대수 준동형 (다음 항등식 $\mathrm{ad}(xy) = \mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(y)$ 이 일반적으로 성립하지 않는다.)이 되진 않는다

예 :

• $\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(x)(y) = [x,[x,y]]$
• $\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(a+b)(y) = [x,[a+b,y]]$

같이 보기

• 반대칭성
• 미분_(추상대수학)
• 빙케를레 미분
• 푸아송 괄호
• 표준 교환 관계

참고문헌

• Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
• Liboff, Richard L. (2002), Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8714-5
• McKay, Susan (2000), Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes, 18, University of London, MR1802994, ISBN 978-0-902480-17-9.