교환자

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교환자(交換子, 영어: commutator)란 수학에서 어떤 이항연산에 대해 교환법칙이 성립하는지를 알려주는 연산자이다. 환론군론에서 정의가 다르다.

환론[편집]

또는 결합적 대수의 두 원소 ab에 대한 교환자는 다음과 같이 정의된다.

[ a,b ] := ab - ba

이 값이 0이면 두 원소 ab에 대한 교환법칙이 성립한다. 선형대수학에서는 어떤 공간자기준동형사상이 한 기저에 관한 교환법칙이 성립하는 행렬들로 표현이 가능하면, 그 행렬들은 모든 기저에 의해 표현된다.

교환자를 리 괄호로 쓰면, 모든 결합적 대수는 리 대수로 바뀌게 된다.

힐베르트 공간에서의 두 연산자에 대한 교환자는 양자역학에서 중요한 개념중의 하나인데, 연산자로 기술되는 두 관측가능량이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이기 때문이다. 하이젠베르크불확정성원리는 이런 교환자에 대한 성질을 설명하는 원리이다.

성질[편집]

환론에서의 교환자는 다음과 같은 성질을 가지고 있다.

리 대수 관계

  • [A,A] = 0
  • [A,B] = - [B,A]
  • [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0

두 번째 관계는 반대칭성이라고 불리고, 세 번째 관계는 야코비 항등식이라고도 불린다.

다른 관계들

  •  [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
  •  [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
  •  [A,BC] = [AB,C] + [CA,B]
  •  [ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC
  •  [[[A,B], C], D] + [[[B,C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]]

만약 A가 환  \scriptstyle\mathfrak{R} 에서의 고정된 원소이면, 첫 번째 관계는  \scriptstyle B \mapsto  [A,B]에 의해 주어진 사상  \scriptstyle D_A: R \rightarrow R 에 대한 일종의 라이프니츠 규칙이 된다. 다시 말하면, 사상 D_A는 환  \scriptstyle\mathfrak{R} 에서의 미분을 정의한다.

또한 다음과 같은 교환자에 대한 항등식이 있다. 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 특별한 경우로 가끔 유용하게 쓰인다.

  •  e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+\cdots

군론[편집]

G의 두 원소 g와 h에 대한 교환자는 다음과 같이 정의된다.

[ g,h ] := g^{-1} h^{-1} gh

여기서, 두 원소 gh에 대한 교환법칙이 성립한다는 것은 군의 동일함과 같다(즉, gh = hg).

G의 부분군은 G의 교환자 부분군이라 불리는 모든 교환자에 의해 생성된다. 일반적으로 교환자의 집합은 군 연산에 대해 닫혀있지 않으므로 어떤 교환자의 집합에 의해 생성된 부분군을 고려할 때는 유의하자. 또한, 교환자는 멱영군 또는 가해군을 정의하는 데 쓰일 수도 있다.

위의 정의는 주로 군론에서 사용하는 정의이다. 많은 수학자들은 교환자를 다음과 같이 정의하여 사용하기도 한다.

[ g,h ] \,\equiv\, ghg^{-1} h^{-1}

성질[편집]

군론에서의 교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.[1] 여기서 a^x라 표기된 부분은 x^{-1} a x를 나타낸다.

  • x^y = x[x,y]
  • [y,x] = [x,y]^{-1}
  • [x y, z] = [x, z]^y \cdot [y, z] and [x, y z] = [x, z] \cdot [x, y]^z
  • [x, y^{-1}] = [y, x]^{y^{-1}} and [x^{-1}, y] = [y, x]^{x^{-1}}
  • [[x, y^{-1}], z]^y \cdot [[y, z^{-1}], x]^z \cdot [[z, x^{-1}], y]^x = 1[[x,y],z^x][[z,x],y^z][[y,z],x^y]=1

여기서 마지막 성질은 홀-위트 항등식으로도 알려져 있다. 이는 환론에서의 교환자에서의 야코비 항등식과 유사한 군론에서의 항등식이다.

위에서 a^x에 대한 정의는 주로 군 이론가들이 사용하는 정의이다. 많은 다른 수학자들은 위를 xax^{-1}로 정의하여 사용하기도 한다. 이는 보통 {}^x a 로 나타낸다. 비슷한 성질이 이 정의에서도 성립한다.

A wide range of identities are used that are true modulo certain subgroups. 이는 가해군멱영군을 다룰 때 유용하다. 예를 들어, 어떤 의 제곱은 다음과 같이 행동한다.

 (xy)^2 = x^2y^2[y,x][[y,x],y]

만약 교환자 부분군이 중심이면,

(xy)^n = x^n y^n [y,x]^{\binom{n}{2}}

이 된다.

등급환과 등급대수[편집]

등급대수(graded algebra)에서는 교환자가 동차의 성분으로 정의되는 차수 붙은 교환자로 주로 대체된다.

[\omega,\eta]_{gr} := \omega\eta - (-1)^{\deg \omega \, \deg \eta} \eta\omega

미분[편집]

다중의 교환자를 다루는 특별한 경우엔, 다음과 같은 딸림표현이 유용하게 사용되기도 한다.

\mathrm{ad}(x)(y) = [x, y]

이 때, \mathrm{ad}(x) 미분이 되고 \mathrm{ad}선형 (즉, \mathrm{ad}(x+y) = \mathrm{ad}(x) + \mathrm{ad}(y) 이고 \mathrm{ad}(\lambda x)=\lambda \mathrm{ad}(x)) 이 되고, 리 대수 준동형 (즉 \mathrm{ad}([x, y])=[\mathrm{ad}(x), \mathrm{ad}(y)]) 이 된다. 하지만 이는 언제나 대수 준동형 (다음 항등식 \mathrm{ad}(xy) = \mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(y)일반적으로 성립하지 않는다.)이 되진 않는다

예 :

  • \mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(x)(y) = [x,[x,y]]
  • \mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(a+b)(y) = [x,[a+b,y]]

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. McKay, Susan (2000), Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes, 18, University of London, MR1802994, ISBN 978-0-902480-17-9, p. 4

참고문헌[편집]