사원수군

사원수군을 도식화한 그림. 각 색깔은 사원수군의 어떤 원소든지 거듭하여 연산을 하면 항등원(1로 표기)이 된다는 것을 보여주고 있다. 예를 들어, 붉은색으로 표시된 부분은 i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1이라는 것을 설명한다. 또한 (-i)² = -1, (-i)³ = i, (-i)⁴ = 1이라는 것도 알 수 있다.

사원수군이란 군론에서 원소의 갯수가 8개인 비가환군중 하나를 일컫는 말이다. 사원수군은 흔히 Q로 표기되며, 다음의 원소들로 구성되어 있다.

Q = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}

여기에서 1은 항등원을 나타내며 (-1)² = 1이 성립한다. 또한 Q의 임의의 원소 a에 대해 (-1)a = a(-1) = -a가 성립한다. 이 외에도 원소들간에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$

사원수군의 군 표(Cayley table)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

표를 살펴보면, 이 군이 비가환군이라는 사실을 확인할 수 있다. 즉 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 ij = -ji이다.

사원수군의 행렬 표현법

사원수군은 GL₂(C)의 부분군으로 나타낼 수 있다.

$Q=\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$의 원소들은 각각 다음 행렬에 대응된다.

$\ 1= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\ i= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$

$\ j= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

$\ k= \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

여기에서 $i$는 허수 단위이다.

함께보기

• 사원수
• 클라인 4원군