반직접곱

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

군론에서, 반직접곱(半直接-, 영어: semidirect product)또는 반직적(半直積)은 두 곱집합의 구조를 부여하는 한 방법이다. 두 군의 직접곱(영어: direct product)을 일반화한 개념이다.

정의[편집]

NH이라고 하자. \operatorname{Aut}(N)N자기동형사상군이라고 하고, \phi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)군 준동형사상이라고 하자. 즉, H\phi를 통해 N 위에 작용한다. 그렇다면 곱집합 N\times H에 다음과 같은 곱셈 연산을 정의하자.

(n_1,h_1)\cdot(n_2,h_2)=(n_1\phi_{h_1}(n_2),h_1h_2)

이 연산은 의 공리를 만족한다는 것을 확인할 수 있다. 집합 N\times H에 이 연산을 가진 구조를 NH\phi를 통한 반직접곱 N\rtimes_\phi H라고 한다.

성질[편집]

G=N\rtimes H라고 하자. 이 경우 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1\to N\to G\to H\to1.

즉, H=G/N이다.

반면, 그 역은 성립하지 않는다. 일반적으로 짧은 완전열이 존재하더라도 이를 항상 반직접곱으로 나타낼 수 있지는 않다. 예를 들어

1\to\mathbb Z_2\to\mathbb Z_4\to\mathbb Z_2\to1

을 생각해 보자. \operatorname{Aut}(\mathbb Z_2)=1이므로, 반직접곱 \mathbb Z_2\rtimes\mathbb Z_2은 항상 직접곱 \mathbb Z_2\times\mathbb Z_2밖에 존재하지 않는다. 그러나 물론 \mathbb Z_4\ne\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2이다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]