정규부분군

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주어진 정규부분군(正規部分群, normal subgroup)은 내부자기동형사상에 대해 불변하는 성질을 가지는 부분군을 말한다. 군을 정규부분군으로 나누어 몫군을 만들 수 있다.

정규부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.

정의[편집]

군 G의 임의의 원소 g와 부분군 N의 임의의 원소 n에 대해 gng-1가 여전히 N의 원소이면 N을 G의 정규부분군이라 한다. 즉, 이는 N이 내부자기동형사상에 대해 불변함을 말한다.이를 기호로는 다음과 같이 쓴다.

N\vartriangleleft G

다음 조건들은 G의 부분군 N이 정규부분군이라는 것과 동치이다.

  1. G의 임의의 원소 g에 대해 gNg-1 ⊆ N.
  2. G의 임의의 원소 g에 대해 gNg-1 = N.
  3. G 안에서 N의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류가 일치함.
  4. G의 임의의 원소 g에 대해 gN = Ng.
  5. N를 G의 모든 켤레류들의 합집합으로 나타낼 수 있음.
  6. G상에 N을 으로 갖는 준동형사상이 존재함.

여기에서 각 조건의 대수적 의미를 생각하지 않고 논리적인 의미만을 볼 경우, 조건 (1)은 조건 (2)보다 약하고, 조건 (3)은 조건 (4)보다 약함을 알 수 있다. 이런 이유에서 N이 G의 정규부분군임을 증명할 때는 주로 조건 (1)과 (3)을 사용하고, N이 정규부분군임을 아는 상태에서 추가적인 결과를 증명할 때는 주로 조건 (2)와 조건 (4)를 사용한다.

참고자료[편집]

  • I. N. Herstein, Topics in algebra. Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.
  • David S. Dummit; Richard M. Foote, Abstract algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1991. xiv+658 pp. ISBN 0-13-004771-6

함께 보기[편집]