환의 스펙트럼

추상대수학과 대수기하학에서, 가환환의 스펙트럼(spectrum)은 환의 모든 소 아이디얼의 집합이다. 가환환의 스펙트럼은 자연스러운 위상(자리스키 위상)과 가환환 값 층 구조를 지녀, 국소환 달린 공간을 이룬다. 기호는 $\operatorname{Spec}(R)$.

자리스키 위상

이 부분의 본문은 자리스키 위상입니다.

가환환 $R$의 스펙트럼 $\operatorname{Spec}(R)$에는 자리스키 위상이라는 자연스러운 위상이 존재한다. $\operatorname{Spec}(R)$의 아이디얼 $I$에 대하여, $V_I\subset\operatorname{Spec}(R)$가 $I$를 포함하는 모든 소 아이디얼의 집합이라고 하자. 자리스키 위상에서, 닫힌 집합들은 $V_I$들이다. 이에 따라 가환환의 스펙트럼은 자연스럽게 위상공간을 이룬다.

자리스키 위상 아래, 가환환의 스펙트럼은 항상 컴팩트 공간이며 콜모고로프 공간이다. 대부분의 경우 가환환의 스펙트럼은 하우스도르프 공간이 아니다. 만약 $R$이 뇌터 환이라면 $\operatorname{Spec}(R)$은 뇌터 위상공간(Noetherian topological space)이며, 그 역도 성립한다. 가환환의 스펙트럼과 위상동형인 위상공간을 스펙트럼 공간(spectral space)이라고 한다.

구조층

가환환의 스펙트럼에는 위상뿐만 아니라 가환환 값의 층의 구조가 존재한다. 이 층 구조를 구조층(structure sheaf)이라고 한다. $f\in R$에 대하여, $D_f\subset\operatorname{Spec}(R)$가 $f$를 포함하지 않는 소 아이디얼의 집합이라고 하자. 그렇다면 $\{D_f\}_{f\in R}$는 자리스키 위상의 기저를 이룬다. 이제 구조층 $\Gamma\colon X\to\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}$ ($X$는 $\operatorname{Spec}(R)$의 열린 부분집합의 부분순서 범주, $\operatorname{CRing}$는 가환환의 범주)는 다음과 같다.

$\Gamma(D_f)=R_f$.

여기서 $R_f$는 $R$의 $\{1,f,f^2,f^3,\dots\}$에 대한 국소화다. 이에 따라 $\operatorname{Spec}(R)$은 국소환 달린 공간을 이룬다.

환의 스펙트럼과 동형인 국소환 달린 공간을 아핀 스킴이라고 한다. 국소적으로 환의 스펙트럼과 동형인 구조를 가진 공간을 스킴이라고 한다.

스펙트럼의 펑터성

스펙트럼 $\operatorname{Spec}$ 연산은 아핀 스킴의 범주 $\operatorname{Aff}$와 (1을 가진) 가환환의 범주 $\operatorname{CRing}$ 사이의 반변 펑터를 이룬다. $\operatorname{Spec}$의 대상에 대한 작용은 이미 설명하였다. $\phi\colon R\to S$가 가환환 준동형사상이라고 하자. 그렇다면 $\operatorname{Spec}\phi\colon\operatorname{Spec}S\to\operatorname{Spec}R$을 $I\mapsto\phi^{-1}(I)$로 정의하자. 이는 소 아이디얼의 원상(preimage)이 또다른 소 아이디얼이므로 가능하다.

스펙트럼의 예

정수환의 스펙트럼

정수의 환 $\mathbb Z$의 스펙트럼 $\operatorname{Spec}\mathbb Z$를 생각하자. 집합으로서, $\operatorname{Spec}(\mathbb Z)$의 원소는 아디디얼들 $(k)$ ($k$는 0 또는 소수 2,3,5,7,…)이다. 여기에 자리스키 위상에 따라, 닫힌 집합들은 $\{(k)|k\in K\}$ ($K$는 소수의 유한집합) 또는 $\operatorname{Spec}(\mathbb Z)$ 전체이다. 즉, $(0)$을 제외한 다른 모든 점들은 닫혀 있다. $\{(0)\}$은 닫혀 있지 않고, 그 닫힘은 $\operatorname{cl}\{(0)\}=\operatorname{Spec}(\mathbb Z)$ 전체이다. 이러한 점(그 닫힘이 공간 전체인 점)을 일반점(generic point)이라고 한다.

$k$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면 다항식환 $k[x_1,\dots,x_n]$을 생각하자. 이 환의 스펙트럼의 원소들은 아핀 대수다양체 $V\subset\mathbb A^n_k$와 일대일 대응한다. 아핀공간의 각각의 점 $a=(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb A^n_k$는 대수다양체를 이루고, 이에 대응하는 소 아이디얼은 $(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)$이다. 이는 극대 아이디얼이고, 스펙트럼의 닫힌 점들이다. 또한, 점이 아닌 각 부분대수다양체 $V\subset\mathbb A^n_k$에도 소 아이디얼이 대응된다. 이는 $V$를 근의 부분집합으로 포함하는 모든 다항식의 집합 $\mathcal I(V)$이다. 이 점들은 닫혀있지 않으며, 그 닫힘은 대응되는 부분대수다양체 전체이다. 이들은 부분대수다양체에 대응하는 일반점이다. 마지막으로, 아핀 공간 전체에 대응하는 아이디얼 $(0)$이 있으며, 그 닫힘은 스펙트럼 전체이다. 이는 아핀 공간 전체에 대응하는 일반점이다.