환의 스펙트럼

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추상대수학대수기하학에서, 가환환스펙트럼(영어: spectrum)은 환의 모든 소 아이디얼의 집합이다. 기호는 \operatorname{Spec}(R). 가환환의 스펙트럼은 자연스러운 위상(자리스키 위상)과 가환환 구조를 지녀, 국소환 달린 공간을 이룬다. 이는 스킴으로 간주할 수 있으며, 이를 아핀 스킴(영어: affine scheme)이라고 한다. 아핀 스킴은 아핀 대수다양체를 일반화한 개념이다.

개론[편집]

고전적 대수기하학은 복소수체 \mathbb C와 같은, 대수적으로 닫힌 체를 주로 다룬다. 이 경우, 대수다양체는 체에 대하여 유한생성되는 대수와 대응된다. 대수적으로 닫히지 않은 실수체 \mathbb R 또는 유한체 따위를 다루기 위해서는, 보다 더 일반적인 들을 기하학적으로 해석하여야 한다. 알렉산더 그로텐디크는 모든 가환환을 기하학적으로 해석하여야 한다고 제안하였다.

대수적으로 닫힌 체의 경우, 다양체의 점들은 극대 아이디얼에 대응되게 된다. 그러나 극대 아이디얼은 일반적인 체에 대하여서는 사용하기 힘들다. 임의의 가환환 준동형사상 R\to S가 주어지면, 이는 역으로 S의 기하학적 점들을 R의 기하학적인 점들로 보내야 한다. 그러나 극대 아이디얼의 원상은 극대 아이디얼이 아닐 수 있다. 따라서, 그로텐디크는 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 점으로 취급하였다. 소 아이디얼의 원상은 항상 또다른 소 아이디얼이기 때문이다. 범주론적으로 말하자면, 소 아이디얼들의 집합을 취하는 연산은 함자성을 가진다.

소 아이디얼은 극대 아이디얼보다 더 일반적인 개념으로, 이는 고전적인 점 말고도 모든 부분대수다양체에 대응하는 점들을 추가하는 것에 해당한다. 이렇게 더해진 점들은 일반점(영어: generic point)이라고 한다. 임의의 가환환의 소 아이디얼들의 집합에 위상수학적인 구조(자리스키 위상) 및 기하학적 구조(구조층)을 부가하여, 가환환을 기하학적인 공간으로 취급할 수 있다. 이를 환의 스펙트럼이라고 하며, 이렇게 얻는 기하학적 대상을 아핀 스킴이라고 한다. 보다 일반적인 스킴들은 아핀 스킴들을 짜깁기하여 만들 수 있다.

자리스키 위상[편집]

가환환 R의 스펙트럼 \operatorname{Spec}(R)에는 자리스키 위상이라는 자연스러운 위상이 존재한다. \operatorname{Spec}(R)의 아이디얼 I에 대하여, V_I\subset\operatorname{Spec}(R)I를 포함하는 모든 소 아이디얼의 집합이라고 하자. 자리스키 위상에서, 닫힌 집합들은 V_I들이다. 이에 따라 가환환의 스펙트럼은 자연스럽게 위상공간을 이룬다.

자리스키 위상 아래, 가환환의 스펙트럼은 항상 콤팩트 공간이며 콜모고로프 공간이다. 대부분의 경우 가환환의 스펙트럼은 하우스도르프 공간이 아니다. 만약 R뇌터 환이라면 \operatorname{Spec}(R)뇌터 위상공간(Noetherian topological space)이며, 그 역도 성립한다. 가환환의 스펙트럼과 위상동형인 위상공간을 스펙트럼 공간(spectral space)이라고 한다.

구조층[편집]

가환환의 스펙트럼에는 위상뿐만 아니라 가환환 값의 의 구조가 존재한다. 이 층 구조를 구조층(structure sheaf)이라고 한다. f\in R에 대하여, D_f\subset\operatorname{Spec}(R)f를 포함하지 않는 소 아이디얼의 집합이라고 하자. 그렇다면 \{D_f\}_{f\in R}는 자리스키 위상의 기저를 이룬다. 이제 구조층 \Gamma\colon X\to\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}} (X\operatorname{Spec}(R)의 열린 부분집합의 부분순서 범주, \operatorname{CRing}가환환범주)는 다음과 같다.

\Gamma(D_f)=R_f.

여기서 R_fR\{1,f,f^2,f^3,\dots\}에 대한 국소화다. 이에 따라 \operatorname{Spec}(R)국소환 달린 공간을 이룬다.

환의 스펙트럼과 동형인 국소환 달린 공간아핀 스킴이라고 한다. 국소적으로 환의 스펙트럼과 동형인 구조를 가진 공간을 스킴이라고 한다.

아핀 스킴[편집]

아핀 스킴(영어: affine scheme)은 어떤 (1이 있는) 가환환의 스펙트럼과 동형국소환 달린 공간이다. 즉, 위상공간으로서 가환환의 스펙트럼의 자리스키 위상위상동형이고, 또한 그 의 구조가 서로 동형이다.

아핀 스킴은 스킴을 정의하기 위한 기본적인 벽돌과 같다. 예를 들어, 미분다양체유클리드 공간들을 이어붙여 정의하듯, 일반적인 스킴은 아핀 스킴들을 이어붙여 정의한다. 미분기하학에서 '작은 열린 집합'들이 코호몰로지가 0이 되어서 여러가지 좋은 성질들을 만족하듯이, 아핀 스킴들은 아주 비슷한, 독특한 코호몰로지 성질들을 가진다. 그래서 코호몰로지의 관점에서 보았을 때, 아핀 스킴들을 스킴의 ‘충분히 작은 열린 집합’으로 보는 것은 아주 자연스러운 일이 된다.

이러한 아핀 스킴의 정의는 알렉산더 그로텐디크가 정의하였으며, 이러한 언어의 개발은 대수기하학의 발달에 지대한 공헌을 하였다. 아핀 스킴의 개념은, 기존의 아핀 대수다양체의 개념을 포함하면서 일반화한 개념이다. 이 경우, 다항식환소 아이디얼 \mathfrak a\subset k[x_1,\dots,x_n]으로 정의되는 고전적인 아핀 대수다양체에 대응하는 아핀 스킴은 몫환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}(k[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak a)에 대응한다.

Spec은 반변함자를 이루므로, 아핀 스킴들의 범주는 (1을 가진) 가환환들의 범주의 반대범주(opposite category)와 동치이다.

스펙트럼의 함자성[편집]

스펙트럼 \operatorname{Spec} 연산은 아핀 스킴범주 \operatorname{Aff}와 (1을 가진) 가환환의 범주 \operatorname{CRing} 사이의 반변함자를 이룬다. \operatorname{Spec}의 대상에 대한 작용은 이미 설명하였다. \phi\colon R\to S가환환 준동형사상이라고 하자. 그렇다면 \operatorname{Spec}\phi\colon\operatorname{Spec}S\to\operatorname{Spec}RI\mapsto\phi^{-1}(I)로 정의하자. 이는 소 아이디얼원상(preimage)이 또다른 소 아이디얼이므로 가능하다.

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자명한 경우[편집]

정수환[편집]

정수환의 스펙트럼은 1차원 아핀 스킴을 이룬다. 닫힌 점들은 소수들에 대응하고, 이 밖에도 일반점 (0)이 있다.

정수의 환 \mathbb Z의 스펙트럼 \operatorname{Spec}\mathbb Z를 생각하자. 집합으로서, \operatorname{Spec}(\mathbb Z)의 원소는 아디디얼들 (k) (k는 0 또는 소수 2,3,5,7,…)이다. 여기에 자리스키 위상에 따라, 닫힌 집합들은 \{(k)|k\in K\} (K는 소수의 유한집합) 또는 \operatorname{Spec}(\mathbb Z) 전체이다. 즉, (0)을 제외한 다른 모든 점들은 닫혀 있다. \{(0)\}은 닫혀 있지 않고, 그 폐포\operatorname{cl}\{(0)\}=\operatorname{Spec}(\mathbb Z) 전체이다. 이러한 점(그 폐포가 공간 전체인 점)을 일반점(generic point)이라고 한다.

\operatorname{Spec}(\mathbb Z)크룰 차원이 1인 아핀 스킴이며, 이는 스킴의 범주의 끝 대상이다.

일반적으로, 가 아닌 주 아이디얼 정역의 스펙트럼은 크룰 차원이 1인 아핀 스킴이다.

대수적으로 닫힌 체의 다항식환[편집]

k대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면 다항식환 k[x_1,\dots,x_n]을 생각하자. 이 환의 스펙트럼의 원소들은 아핀 대수다양체 V\subset\mathbb A^n_k일대일 대응한다. 이들은 다음과 같이 세 가지로 나눌 수 있다.

  • 소 아이디얼 가운데, 극대 아이디얼 (x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)들은 고전적 아핀공간 k^n의 점 (a_1,\dots,a_n)\in k^n에 대응한다. 이는 아핀 스킴의 닫힌 점들이다.
  • 또한, 점이 아닌 각 아핀 대수다양체 V\subset\mathbb A^n_k에도 소 아이디얼이 대응된다. 이는 V를 근의 부분집합으로 포함하는 모든 다항식의 집합 \mathcal I(V)이다. 이 점들은 닫혀있지 않으며, 그 폐포는 대응되는 아핀 대수다양체 전체이다. 이들은 아핀 대수다양체에 대응하는 일반점이다.
  • 마지막으로, 아핀 공간 전체에 대응하는 아이디얼 (0)이 있으며, 그 폐포는 스펙트럼 전체이다. 이는 아핀 공간 전체에 대응하는 일반점이다.

대수적으로 닫히지 않은 체의 다항식환[편집]

k가 대수적으로 닫히지 않은 체라고 하고, \bar k가 그 대수적 폐포라고 하자. 그렇다면 포함 사상 k[x_1,\dots,x_n]\hookrightarrow\bar k[x_1,\dots,x_n]이 있고, (Spec은 반변함자이므로) 이는 아핀 스킴 사이의 사상 \mathbb A^n_{\bar k}\to\mathbb A^n_k을 발생시킨다.

예를 들어, \mathbb A^1_{\mathbb R}을 생각하자. 이 경우, \mathbb C[x]의 극대 아이디얼 (x-a)의 원상은 다음과 같은 아이디얼이다.

  • a\in\mathbb R인 경우, (x-a)\subset\mathbb R[x]
  • a\in\mathbb C\setminus\mathbb R인 경우, ((x-a)(x-\bar a))=(x-2(a+\bar a)x+a\bar a)\subset\mathbb R[x]

따라서, \mathbb A^1_{\mathbb R}의 점들은 다음과 같다.

  • (x-a), a\in\mathbb R. 이는 고전적 1차원 아핀공간 \mathbb R과 일대일 대응하며, 닫힌 점이다.
  • ((x-a)(x-\bar a)), a\in\mathbb C\setminus\mathbb R. 이 또한 닫힌 점이다. 이는 열린 복소 반평면 \{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}z>0\}과 일대일 대응한다.
  • (0). 이는 아핀 공간 전체에 대응하며, 그 폐포는 스펙트럼 전체다.

(1차원의 경우에는 자명하지 않은 부분대수다양체가 없다.) 따라서, 1차원 실수 아핀 스킴은 닫힌 복소 반평면 \{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}z\ge0\}으로 해석할 수 있다.

일반적으로, \mathbb A^n_k\mathbb A^n_{\bar k}갈루아 군 \operatorname{Aut}(\bar k/k)작용에 대한 몫공간(궤도들의 집합)으로 생각할 수 있다. \operatorname{Aut}(\mathbb C/\mathbb R)의 경우, 갈루아 군의 작용은 z\mapsto\bar z이므로, 그 몫공간은 닫힌 복소 반평면이다.

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]