사영 스펙트럼

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대수기하학에서, 사영 스펙트럼(영어: projective spectrum)은 등급환으로부터 스킴을 만드는 한 방법이다.[1]:76–77 이를 다항식들의 등급환에 적용하면 통상적인 사영공간을 얻는다. 기호는 Proj(R).

정의[편집]

자연수 등급을 가진) 등급환

R=\bigoplus_{i=0}^\infty R_i

가 주어졌다고 하자. 이 등급환의 무관 아이디얼(영어: irrelevant ideal) R_+는 양의 등급을 가진 모든 원소를 포함하는 아이디얼이다.

R_+=\bigoplus_{i=1}^\infty R_i

그렇다면 R사영 스펙트럼 \operatorname{Proj}R는 집합으로서 다음 조건들을 만족시키는 R소 아이디얼 \mathfrak a들의 집합이다.

  1. 동급이다. 즉, \mathfrak a\subset R_ii\in\mathbb N이 존재한다.
  2. 무관 아이디얼을 부분집합으로 포함하지 않는다. 즉, R_+\not\subset\mathfrak a이다.

여기서 두 번째 조건은 (고전적) 사영공간에서 무관 아이디얼을 포함하는 아이디얼의 영점의 집합은 공집합이기 때문이다.

자리스키 위상[편집]

\operatorname{Proj}R에 다음과 같은 자리스키 위상을 주어, 위상공간으로 만든다. \operatorname{Proj}R의 열린 부분집합들은 다음과 같은 꼴의 부분집합들로 이루어진다. R의 임의의 동급 아이디얼 \mathfrak a에 대하여,

U(\mathfrak a)=\{\mathfrak b\in\operatorname{Proj}R|b\not\subset\mathfrak a\}\subset\operatorname{Proj}R

이다. 이들은 위상공간의 공리들을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다.

구조층[편집]

\operatorname{Proj}R에 다음과 같은 가환환 값의 \mathcal O를 주어, 환 달린 공간으로 만들 수 있다. 임의의 열린 집합 U에 대하여, \mathcal O(U)는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수 f\colon\mathcal O(U)\to\bigcup_{\mathfrak p\in U}R_{\mathfrak p}들이 이루는 가환환이다. 여기서 S\subset R\setminus\mathfrak p\mathfrak p의 원소가 아닌 모든 동급(homogeneous) 원소들의 부분집합이라고 하면, R_{(\mathfrak p)}RS에서의 국소화이다. 모든 \mathfrak p\in U에 대하여,

  1. f(\mathfrak p)\in R_{(\mathfrak p)}
  2. \mathfrak p는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 \mathfrak p\in V\subset U가 존재하여, 모든 \mathfrak q\in V에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 r,s\in R가 존재한다.
    1. f(\mathfrak q)=r/s
    2. rs는 동급(homogeneous)이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, r,s\in R_ii\in\mathbb N이 존재한다.
    3. s\not\in\mathfrak q.

이렇게 층을 주면, \operatorname{Proj}R스킴의 구조를 이루는 것을 보일 수 있다.

사영 스펙트럼 위의 층[편집]

등급환 R 위에 등급 가군(graded module) M이 주어졌다고 하자. 그렇다면 사영 스펙트럼의 정의와 유사하게, \operatorname{Proj}R 위의 \tilde M을 정의할 수 있다. 구체적으로, 임의의 열린 집합 U에 대하여, \mathcal O_{\tilde M}(U)는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수 f\colon\mathcal O_{\tilde M}(U)\to\bigcup_{\mathfrak p\in U}M_{\mathfrak p}들이 이루는 가환환이다. 여기서 S\subset R\setminus\mathfrak p\mathfrak p의 원소가 아닌 모든 동급(homogeneous) 원소들의 부분집합이라고 하면, M_{(\mathfrak p)}MS에서의 국소화이다. 모든 \mathfrak p\in U에 대하여,

  1. f(\mathfrak p)\in M_{(\mathfrak p)}
  2. \mathfrak p는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 \mathfrak p\in V\subset U가 존재하여, 모든 \mathfrak q\in V에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 m\in M, s\in R가 존재한다.
    1. f(\mathfrak q)=m/s
    2. ms는 동급(homogeneous)이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, m\in M_i, s\in R_ii\in\mathbb N이 존재한다.
    3. s\not\in\mathfrak q.

특히, R 자체를 R의 등급 가군으로 간주하면, \tilde R\operatorname{Proj}R의 구조층이다.

임의의 등급 가군 M=\bigoplus_iM_i가 주어지면, 임의의 정수 l\in\mathbb Z에 대하여 그 뒤틀림(twist) M(l)

M(l)_i=M_{i+l}

인 등급 가군이다. 즉, 등급을 단순히 l만큼 이동시킨 것이다. 이 연산을 층에 정의하면, 층 \tilde M뒤틀림 \tilde M(l)을 정의할 수 있다. 구조층 \tilde R=\mathcal O의 뒤틀림 \mathcal O(1)세르 뒤틀림 층(영어: Serre twisting sheaf)이라고 한다. 이는 항상 가역층이며, 장피에르 세르의 이름을 딴 것이다.

사영 공간 \mathbb P_k^n=\operatorname{Proj}k[x_1,\dots,x_n]의 경우, 세르 뒤틀림 층 \mathcal O(1)의 단면은 1차 동차다항식 \sum_ic_ix_i의 꼴의 함수들이다. 즉, 세르 뒤틀림 층은 일종의 좌표들의 층으로 볼 수 있다. 이 경우, 세르 뒤틀림 층은 가역층이고, 그 역은 사영 공간의 표준 선다발이다.

성질[편집]

\operatorname{Proj}R의 구조층 \mathcal O\mathfrak p\in\operatorname{Proj}R에서의 줄기(영어: stalk) \mathcal O_{\mathfrak p}=R_{(\mathfrak p)}이다.[1]:76 여기서 R_{(\mathfrak p)}\mathfrak p의 원소가 아닌 동급(homogeneous) 원소들에 대한 국소화다. 이러한 환은 항상 국소환이다.

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R가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. 그렇다면 R에 대한 n차원 사영공간 \mathbb P_R^n등급환 R[x_1,\dots,x_n]의 사영 스펙트럼이다.[1]:77

임의의 (단위원을 가진) 가환환 R이 주어지면, 여기에 모든 등급을 0으로 매겨 이를 자명한 등급환으로 취급할 수 있다. 이는 0개의 변수를 가지는 다항식환 R\cong R[]이다. 이 등급환의 사영 스펙트럼(즉, 0차원 사영공간 \mathbb P_R^0)은 공집합이다. 이는 무관 아이디얼이 영아이디얼 R_+=(0)이며, 이는 모든 아이디얼의 부분 아이디얼이기 때문이다.

보다 일반적으로, 등급환 R의 사영 스펙트럼이 공집합일 필요충분조건은 R_+\subset\sqrt{(0)}인 것이다. 즉, R_+의 모든 원소가 멱영원이어야 한다.[1]:80

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Hartshorne, Robin (1977년). 《Algebraic Geometry》, Graduate Texts in Mathematics 52, ISSN 0072-5285. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. MR0463157. Zbl 0367.14001. ISBN 978-0-387-90244-9

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]