등급환

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환론에서, 등급환(等級環, 영어: graded ring)은 그 원소들이 어떤 등급(等級, 영어: grade)을 가진 이다.

정의[편집]

R이라고 하고, N모노이드라고 하자. 아벨 군으로서, R이 다음과 같은 직합(direct sum) 구조를 가졌다고 하자.

R=\bigoplus_{n\in N}^\infty R_n

여기서 각 R_n아벨 군이다. 또한, R에서의 곱셈이 다음을 만족시킨다고 하자.

R_mR_n\subset R_{mn}

이 경우, RN등급을 가진 등급환이라고 한다. 임의의 환의 원소 r\in R는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다.

  • 만약 r\in R_nn\in N이 존재할 경우 r동급원소(同級, 영어: homogeneous element)라고 하고, nr등급이라고 한다.
  • 만약 r\in R_nn이 존재하지 않을 경우 r비동급원소(영어: inhomogeneous element)라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급원소들의 합은 비동급원소다.

통상적으로, 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우 N=\mathbb N (음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다.

[편집]

  • 코호몰로지 환은 코호몰로지 류의 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 등급환이다.
  • 미분형식은 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 등급환이다.
  • G에 대한 군환G등급을 가진 등급환이다.
  • 클리퍼드 대수\mathbb Z/2\mathbb Z등급을 가진 등급환이다.