아핀 스킴

대수기하학의 연구대상인 아핀 스킴(affine scheme)이라는 것은, 스킴을 정의하기 위한 기본적인 벽돌과 같은 것으로 볼 수 있다. 아핀 스킴은 다음과 같이 정의된다.

$A$가 $1$이 있는 가환환이라고 하자. 이때에, ${\rm Spec} (A)$를 $A$의 모든 소 아이디얼(prime ideal)들의 집합이라고 하고, 여기에 차리스키 위상(Zariski topology)를 준다. 이 위상공간의 기저가 ${\rm Spec} (A_f), \ \ f \in A$이라는 것을 쉽게 보일 수 있고, 이런 열린집합 각각에 가환군 $A_f$를 대응하는 관계는 가환군의 층을 준다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 따라서, 여기서 우리는 구조 층 $\mathcal{O}_{{\rm Spec} (A)}$를 얻어낸다. 이 국소환 달린 공간인 $\left({\rm Spec}(A), \mathcal{O}_{{\rm Spec}(A)} \right)$가 동형인 모든 국소환 달린 공간 $\left(X, \mathcal{O}_X \right)$ 를 아핀 스킴이라고 부른다.

아핀 스킴은 알렉산더 그로센딕에 의해서 개발되었으며, 이 언어의 개발은 대수기하학의 발달에 지대한 공헌을 하였다. 아핀 스킴의 개념은, 기존의 아핀 대수다양체의 개념을 포함하면서 일반화한 개념이다.

미분기하학에서 '작은 열린 집합'들이 코호몰로지가 0이 되어서 여러가지 좋은 성질들을 만족하듯이, 아핀 스킴들은 아주 비슷한, 독특한 코호몰로지 성질들을 가진다. 그래서 코호몰로지의 관점에서 보았을때에, 아핀 스킴들을 스킴의 '충분히 작은 열린 집합'으로 보는 것은 아주 자연스러운 일이 된다.