동차다항식

대수학에서 동차다항식(同次多項式, homogeneous polynomial)은 모든 계수가 영이 아닌 항의 차수가 같은 다변수 다항식이다. 예를 들어, $x,y$에 대한 다항식 $x^{3}+3x^{2}y+2xy^{2}-y^{3}$은 각 항의 차수가 지수의 합에서 3으로 같으므로 동차다항식이다.

동차다항식의 근의 집합은 사영 공간에서 사영 대수다양체를 이룬다.

정의

환(또는 체) $R$ 위의 $n$변수 다항식

$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{i\in I\subset \mathbb {N} ^{n}}a_{i}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$

이 서로 동치인 두 성질

• $a_{i}\neq 0$이면 $\sum i=k$
• 임의의 $\lambda \in R$에 대해 $f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{k}f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

($k$는 음이 아닌 정수)중 하나를 만족한다면, $k$차 동차다항식라고 한다.

성질

• 임의의 다항식은 동차다항식의 합으로 표현된다. 영이 아닌 다항식의 표현은 $f=f_{0}+\cdots +f_{\deg f}$와 같다. $f_{k}$를 $f$의 $k$차 동차성분(同次成分, homogeneous component)이라고 한다.
• 동차다항식의 비자명 인수는 모두 동차다항식이다.

준동차다항식

만약 음이 아닌 정수 $k,p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$가 존재하여, $f$가 모든 $\lambda \in R$에 대하여

$\lambda ^{k}f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=f(\lambda ^{p_{1}}x_{1},\lambda ^{p_{2}}x_{2},\dots ,\lambda ^{p_{n}}x_{n})$

의 꼴이라면, $f$를 준동차다항식(quasihomogeneous polynomial)이라 한다. 동차다항식은 준동차다항식이 $p_{i}=1$인 경우이다.