환 (수학)

대수적 구조
군(group)과 그 부류 마그마(magma) 반군(semigroup) 모노이드(monoid) 아벨 군(abelian group)
환(ring)과 그 부류 가환환(commutative ring) 정역(integral domain) 체(field)
가군(module)과 그 부류 벡터 공간

환(環, ring)은 대수적 구조의 하나이다.

정의

집합 R과 이항연산 +과 ∗가 다음 조건을 만족하면 (R, +, ∗)를 환이라 한다. 이 때 흔히 +을 ‘덧셈’, ∗을 ‘곱셈’이라 부르지만, 꼭 수에서의 덧셈과 곱셈과 같은 연산일 필요는 없다.

• (R, +)가 아벨 군일 것:
  • 결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c)
  • 교환법칙: a + b = b + a
  • 항등원: 0 + a = a + 0 = a
  • 역원: 모든 a에 대해 a + −a = −a + a = 0인 -a가 존재한다.
• ∗에 대해 결합법칙이 성립할 것:
  • 결합법칙: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
• +, ∗에 대해 분배법칙이 성립할 것:
  • a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c
  • (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c

환의 정의에 따라 곱셈에 대한 항등원, 즉 단위원이 있을 것을 요구하기도 한다. 만약 두 가지 정의를 구분해서 써야 할 경우, 단위원이 없는 환을 pseudo-ring이라 부르기도 한다.

• ∗에 대한 항등원이 있을 것: 1 ∗ a = a ∗ 1 = a

환은 덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립해야 하지만, 곱셈에서는 그러한 조건이 필요하지 않다. 곱셈에서도 교환법칙이 성립하는 환을 가환환이라고 부른다.

환에서는 곱셈에 대해서 역원이 꼭 필요하지는 않다. 역원이 존재하는 원소가 있는 경우, 그 원소를 단위라고 부른다.

기본적 정리

• 0 ∗ a = a ∗ 0 = 0

[증명]

0 ∗ a

= (0 ∗ a) + 0

= (0 ∗ a) + ((0 ∗ a) + (−(0 ∗ a))

= ((0 ∗ a) + (0 ∗ a)) + (−(0 ∗ a))

= ((0 + 0) ∗ a) + (−(0 ∗ a))

= (0 ∗ a) + (−(0 ∗ a))

= 0

마찬가지로,

a ∗ 0

= (a ∗ 0) + 0

= (a ∗ 0) + ((a ∗ 0) + (−(a ∗ 0))

= ((a ∗ 0) + (a ∗ 0)) + (−(a ∗ 0))

= (a ∗ (0 + 0)) + (−(a ∗ 0))

= (a ∗ 0) + (−(a ∗ 0))

= 0

임의의 x의 덧셈에 대한 역원을 -x라고 할 때,

• (−1) ∗ a = a ∗ (−1) = −a

[증명]

(−1) ∗ a

= ((−1) ∗ a) + 0

= ((−1) ∗ a) + ((1 ∗ a) + (−(1 ∗ a)))

= (((−1) ∗ a) + (1 ∗ a)) + (−(1 ∗ a))

= (((−1) + 1) ∗ a) + (−(1 ∗ a))

= (0 ∗ a) + (−(1 ∗ a))

= 0 + (−(1 ∗ a))

= −(1 ∗ a)

= −a

마찬가지로,

a ∗ (−1)

= (a ∗ (−1)) + 0

= (a ∗ (−1)) + ((a ∗ 1) + (−(a ∗ 1)))

= ((a ∗ (−1)) + (a ∗ 1)) + (−(a ∗ 1))

= (a ∗ ((−1) + 1)) + (−(a ∗ 1))

= (a ∗ 0) + (−(a ∗ 1))

= 0 + (−(a ∗ 1))

= −(a ∗ 1)

= −a

• (−a) ∗ b = a ∗ (−b) = −(a ∗ b)

[증명]

(−a) ∗ b

= ((−a) ∗ b) + 0

= ((−a) ∗ b) + ((a ∗ b) + (−(a ∗ b)))

= (((−a) ∗ b) + (a ∗ b)) + (−(a ∗ b))

= (((−a) + a) ∗ b) + (−(a ∗ b))

= (0 ∗ b) + (−(a ∗ b))

= 0 + (−(a ∗ b))

= −(a ∗ b)

마찬가지로,

a ∗ (−b)

= (a ∗ (−b)) + 0

= (a ∗ (−b)) + ((a ∗ b) + (−(a ∗ b)))

= ((a ∗ (−b)) + (a ∗ b)) + (−(a ∗ b))

= (a ∗ ((−b) + b)) + (−(a ∗ b))

= (a ∗ 0) + (−(a ∗ b))

= 0 + (−(a ∗ b))

= −(a ∗ b)

a와 b의 곱셈에 대한 역원이 모두 존재할 경우, (즉 말해, a와 b가 모두 단위라면,)

• (a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹

[증명]

(a ∗ b) ∗ (b⁻¹ ∗ a⁻¹)

= (a ∗ (b ∗ b⁻¹)) ∗ a⁻¹

= (a ∗ 1) ∗ a⁻¹

= a ∗ a⁻¹

= 1

마찬가지로,

(b⁻¹ ∗ a⁻¹) ∗ (a ∗ b)

= (b⁻¹ ∗ (a⁻¹ ∗ a)) ∗ b

= (b⁻¹ ∗ 1) ∗ b

= b⁻¹ ∗ b

= 1

역원의 정의에 의하여 (a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹

성질

• 정수 전체 집합 $\mathbf{Z}$은 환을 이룬다.
• 유리수 전체 집합 $\mathbf{Q}$, 실수 전체 집합 $\mathbf{R}$, 복소수 전체집합 $\mathbf{C}$는 각각 환을 이룬다. 나아가 이들은 체를 이룬다.
• $n$이 양의 정수일때, $n$으로 나눈 나머지 $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$는 환을 이룬다. 이를 잉여환이라 한다.
• 폐구간 $[a, b]$에서 정의된 실연속함수 전체의 집합 $C[a, b]$ 은 환을 이룬다. 이 때, 연산은 각 함수값의 덧셈과 곱셈이다. 즉, 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 합과 곱은 다음과 같은 값을 갖는 함수로 정의한다.

  $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$

  $(fg)(x) = f(x) g(x)$

• 어떤 환 $R$의 원소를 계수로 갖는 다항식 전체의 집합 $R[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ 은 환을 이룬다.
• $A$를 환, $n$을 자연수라고 할 때, $A$의 원소로 이루어진 $n$차 정사각행렬 전체 집합 $M_n (A)$는 환을 이룬다. 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는 비가환의 환이 된다.
• $S$가 집합일 때, $S$의 멱집합 $P(S)$는 다음과 같이 환이 된다. ($A, B \subset S$):

  $\begin{align} A + B &= ( A \cup B ) - ( A \cap B ) \\ A * B &= A \cap B \end{align}$

종류

• 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하는 환을 가환환, 그렇지 않은 환을 비가환환이라 한다.
• 원소가 하나밖에 없는 환 {0}을 자명환이라 한다. 이 경우 곱셈에 대한 항등원과 덧셈에 대한 항등원이 같다.
• 만약 덧셈에 대한 항등원 0을 제외한 모든 환의 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지고 있따면 이를 나눗셈 환 또는 비가환체라고 부른다.
• 비가환체가 곱셈에 대해 교환법칙이 성립한다면 체이라 한다.

같이 보기

• 체 (수학)
• 군 (수학)