환 (수학)

환(環, ring)이란 집합 R에 덧셈과 곱셈 연산자 +과 ∗ 이 정의되어 있고 다음의 조건을 만족하는 대수적 구조이다.

(R, +)가 아벨 군이고, 항등원 0을 가진다.
- (a + b) + c = a + (b + c) (결합법칙)
- a + b = b + a (교환법칙)
- 0 + a = a + 0 = a (항등원)
- 모든 a에 대해 a + −a = −a + a = 0인 -a가 존재한다. (역원)
(R, ∗)가 모노이드이다.
- 1 ∗ a = a ∗ 1 = a
- (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
+, ∗에 대해 분배법칙이 성립한다.
- a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c
- (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c

덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립해야 하지만, 곱셈에서는 그러한 조건이 필요하지 않다. 만약 곱셈에서도 교환법칙이 성립하는 경우에는 가환환이라고 부른다.

환에서는 곱셈에 대해서 역원이 꼭 필요하지는 않다. 역원이 존재하는 원소가 있는 경우, 그 원소를 단위라고 부른다.

[편집] 기본적 정리

정수 전체 집합 $\mathbf{Z}$ 은 환을 이룬다.
유리수 전체 집합 $\mathbf{Q}$ , 실수 전체 집합 $\mathbf{R}$ , 복소수 전체집합 $\mathbf{C}$ 는 각각 환을 이룬다. 나아가 이들은 체를 이룬다.
$n$ 이 양의 정수일때, $n$ 으로 나눈 나머지 $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ 는 환을 이룬다. 이를 잉여환이라 한다.
폐구간 $[a, b]$ 에서 정의된 실연속함수 전체의 집합 $C [a, b]$ 은 환을 이룬다. 이 때, 연산은 각 함수값의 덧셈과 곱셈이다. 즉, 함수 $f (x)$ 와 $g (x)$ 의 합과 곱은 다음과 같은 값을 갖는 함수로 정의한다.

$(f + g)(x) = f (x) + g (x)$

$(f g)(x) = f (x) g (x)$
어떤 환 $R$ 의 원소를 계수로 갖는 다항식 전체의 집합 $R[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ 은 환을 이룬다.
$A$ 를 환, $n$ 을 자연수라고 할 때, $A$ 의 원소로 이루어진 $n$ 차 정사각행렬 전체 집합 $M n A$ 는 환을 이룬다. 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는 비가환의 환이 된다.
S가 집합일 때, S의 멱집합 P(S)는 다음과 같이 환이 된다. ():
- $\begin{align} A + B &= ( A \cup B ) - ( A \cap B ) \\ A * B &= A \cap B \end{align}$