환 (수학)

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(環, 영어: ring [*])은 덧셈과 곱셈이 정의된 대수적 구조의 하나이다. 환은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고, 분배법칙과 곱셈의 결합법칙을 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있다.

정의[편집]

집합 R과 이항연산 +가 다음 조건을 만족하면 (R, +, ∗)를 환이라 한다. 이 때 흔히 +을 ‘덧셈’, 을 ‘곱셈’이라 부르지만, 꼭 수에서의 덧셈과 곱셈과 같은 연산일 필요는 없다.

환의 정의에 따라 곱셈에 대한 항등원, 즉 단위원이 있을 것을 요구하기도 한다. 만약 두 가지 정의를 구분해서 써야 할 경우, 단위원이 없는 환을 유사환이라고 부른다.

  • ∗에 대한 항등원이 있을 것: 1 ∗ a = a ∗ 1 = a

환은 덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립해야 하지만, 곱셈에서는 그러한 조건이 필요하지 않다. 곱셈에서도 교환법칙이 성립하는 환을 가환환이라고 부른다.

환에서는 곱셈에 대해서 역원이 꼭 필요하지는 않다. 역원이 존재하는 원소가 있는 경우, 그 원소를 가역원라고 부른다.

기본적 정리[편집]

  • 0 ∗ a = a ∗ 0 = 0

[증명]

0 ∗ a
= (0 ∗ a) + 0
= (0 ∗ a) + ((0 ∗ a) + (−(0 ∗ a))
= ((0 ∗ a) + (0 ∗ a)) + (−(0 ∗ a))
= ((0 + 0) ∗ a) + (−(0 ∗ a))
= (0 ∗ a) + (−(0 ∗ a))
= 0

마찬가지로,

a ∗ 0
= (a ∗ 0) + 0
= (a ∗ 0) + ((a ∗ 0) + (−(a ∗ 0))
= ((a ∗ 0) + (a ∗ 0)) + (−(a ∗ 0))
= (a ∗ (0 + 0)) + (−(a ∗ 0))
= (a ∗ 0) + (−(a ∗ 0))
= 0

임의의 x의 덧셈에 대한 역원을 -x라고 할 때,

  • (−1) ∗ a = a ∗ (−1) = −a

[증명]

(−1) ∗ a
= ((−1) ∗ a) + 0
= ((−1) ∗ a) + ((1 ∗ a) + (−(1 ∗ a)))
= (((−1) ∗ a) + (1 ∗ a)) + (−(1 ∗ a))
= (((−1) + 1) ∗ a) + (−(1 ∗ a))
= (0 ∗ a) + (−(1 ∗ a))
= 0 + (−(1 ∗ a))
= −(1 ∗ a)
= −a

마찬가지로,

a ∗ (−1)
= (a ∗ (−1)) + 0
= (a ∗ (−1)) + ((a ∗ 1) + (−(a ∗ 1)))
= ((a ∗ (−1)) + (a ∗ 1)) + (−(a ∗ 1))
= (a ∗ ((−1) + 1)) + (−(a ∗ 1))
= (a ∗ 0) + (−(a ∗ 1))
= 0 + (−(a ∗ 1))
= −(a ∗ 1)
= −a
  • (−a) ∗ b = a ∗ (−b) = −(ab)

[증명]

(−a) ∗ b
= ((−a) ∗ b) + 0
= ((−a) ∗ b) + ((ab) + (−(ab)))
= (((−a) ∗ b) + (ab)) + (−(ab))
= (((−a) + a) ∗ b) + (−(ab))
= (0 ∗ b) + (−(ab))
= 0 + (−(ab))
= −(ab)

마찬가지로,

a ∗ (−b)
= (a ∗ (−b)) + 0
= (a ∗ (−b)) + ((ab) + (−(ab)))
= ((a ∗ (−b)) + (ab)) + (−(ab))
= (a ∗ ((−b) + b)) + (−(ab))
= (a ∗ 0) + (−(ab))
= 0 + (−(ab))
= −(ab)

ab의 곱셈에 대한 역원이 모두 존재할 경우, (다시 말해, ab가 모두 가역원이라면,)

  • (ab)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹

[증명]

(ab) ∗ (b⁻¹ ∗ a⁻¹)
= (a ∗ (bb⁻¹)) ∗ a⁻¹
= (a ∗ 1) ∗ a⁻¹
= aa⁻¹
= 1

마찬가지로,

(b⁻¹ ∗ a⁻¹) ∗ (ab)
= (b⁻¹ ∗ (a⁻¹ ∗ a)) ∗ b
= (b⁻¹ ∗ 1) ∗ b
= b⁻¹ ∗ b
= 1

역원의 정의에 의하여 (ab)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹

성질[편집]

  • 정수 전체 집합 \mathbf{Z}은 환을 이룬다.
  • 유리수 전체 집합 \mathbf{Q}, 실수 전체 집합 \mathbf{R}, 복소수 전체집합 \mathbf{C}는 각각 환을 이룬다. 나아가 이들은 를 이룬다.
  • n이 양의 정수일때, n으로 나눈 나머지 \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}는 환을 이룬다. 이를 잉여환이라 한다.
  • 폐구간 [a, b]에서 정의된 실연속함수 전체의 집합 C[a, b] 은 환을 이룬다. 이 때, 연산은 각 함수값의 덧셈과 곱셈이다. 즉, 함수 f(x)g(x) 의 합과 곱은 다음과 같은 값을 갖는 함수로 정의한다.
    (f+g)(x) = f(x) + g(x)
    (fg)(x) = f(x) g(x)
  • 어떤 환 R의 원소를 계수로 갖는 다항식 전체의 집합 R[x_1,x_2,\cdots,x_n] 은 환을 이룬다.
  • A를 환, n을 자연수라고 할 때, A의 원소로 이루어진 n차 정사각행렬 전체 집합 M_n (A)는 환을 이룬다. 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는 비가환의 환이 된다.
  • S가 집합일 때, S멱집합 P(S)는 다음과 같이 환이 된다. (A, B \subset S):
    
\begin{align}
A + B &= ( A \cup B ) - ( A \cap B ) \\
A * B &= A \cap B
\end{align}

종류[편집]

  • 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하는 환을 가환환, 그렇지 않은 환을 비가환환이라 한다.
  • 원소가 하나밖에 없는 환 {0}을 자명환이라 한다. 이 경우 곱셈에 대한 항등원과 덧셈에 대한 항등원이 같다.
  • 만약 덧셈에 대한 항등원 0을 제외한 모든 환의 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지고 있다면 이를 나눗셈 환 또는 비가환체라고 부른다.
  • 비가환체가 곱셈에 대해 교환법칙이 성립한다면 이라 한다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]