가군의 근기

환론에서, 가군의 근기(根基, 영어: radical 래디컬^[*])는 모든 극대 부분 가군에 포함되는 가장 큰 부분 가군이다. 반대로, 가군의 주각(柱脚, 영어: socle 소클^[*])은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 부분 가군이다.

환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 제이컵슨 근기(Jacobson根基, 영어: Jacobson radical)라고 한다. 이는 대략 단순 가군으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 아이디얼이다.

정의

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$이 주어졌다고 하자. $M$의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 극대 부분 가군이라고 하자. (즉, 극대 부분 가군 $_{R}N\subsetneq {}_{R}M$은 $_{R}(M/N)$이 단순 가군이 되는 것이다.) 마찬가지로, $M$의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소(즉, 부분 가군 가운데 단순 가군인 것)를 극소 부분 가군(영어: minimal submodule)이라고 하자.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$이 주어졌을 때, 그 특별한 부분 가군인 근기(根基, 영어: radical) $\operatorname {rad} M$와 주각(柱脚, 영어: socle) $\operatorname {soc} M$을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다.

왼쪽 가군 $M$의 모든 극대 부분 가군들의 교집합은 $M$의 잉여적 부분 가군들의 합과 일치하며, 이를 $M$의 근기 $\operatorname {rad} M\subseteq M$라고 한다. (만약 극대 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 $M$과 같다.) 왼쪽 가군 $M$의 모든 극소 부분 가군들의 합은 $M$의 본질적 부분 가군들의 교집합과 일치하며, 이를 $M$의 주각 $\operatorname {soc} M\subseteq M$이라고 한다. (만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.) 오른쪽 가군의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.

환의 근기와 주각

환 $R$를 스스로 위의 왼쪽 가군 $_{R}R$ 또는 오른쪽 가군 $R_{R}$으로 생각할 수 있다. 이 경우, $_{R}R$와 $R_{R}$의 근기 및 주각을 생각할 수 있다.

$_{R}R$와 $R_{R}$의 근기는 $R$의 동일한 부분 집합을 정의한다.

$\operatorname {rad} (_{R}R)=\operatorname {rad} (R_{R})\subseteq R$

이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며, $R$의 제이컵슨 근기(영어: Jacobson radical)라고 한다.

근기의 경우와 달리, 일반적으로 $\operatorname {soc} (_{R}R)$(=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과 $\operatorname {soc} (R_{R})$(=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를 $R$의 왼쪽 주각(영어: left socle) 및 오른쪽 주각(영어: right socle)이라고 한다.

성질

임의의 $R$-가군 준동형 $f\colon {}_{R}M\to {}_{R}N$에 대하여, 다음이 성립한다.

$f(\operatorname {rad} M)\subseteq \operatorname {rad} N$

$f(\operatorname {soc} M)\subseteq \operatorname {soc} N$

모든 유한 생성 가군은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 가지므로, 영가군이 아닌 가군 $_{R}M$의 경우 $M\neq \operatorname {rad} (_{R}M)$이다.

가군의 (유한 또는 무한) 직합

$M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$

에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {soc} M\cong \bigoplus _{i\in I}\operatorname {soc} M_{i}$

$\operatorname {rad} M\cong \bigoplus _{i\in I}\operatorname {rad} M_{i}$

모든 왼쪽 가군 $_{R}M$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {rad} \left(_{M}R/\operatorname {rad} (_{R}M)\right)=0$

$\operatorname {soc} \left(\operatorname {soc} (_{R}M)\right)=\operatorname {soc} (_{R}M)$

환·가군 성질의 필요충분조건

왼쪽 가군 $_{R}M$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 반단순 가군이다.
• $\operatorname {soc} (_{R}M)=M$이다.

환 $R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반단순환이다.
• $\operatorname {soc} (_{R}R)=R$이다.
• $\operatorname {soc} (R_{R})=R$이다.
• 모든 왼쪽 가군 $_{R}M$에 대하여 $\operatorname {soc} (_{R}M)=M$이다.
• 모든 오른쪽 가군 $M_{R}$에 대하여 $\operatorname {soc} (M_{R})=M$이다.

환 $R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 반원시환이다.
• $\operatorname {rad} R=0$이다.

아이디얼성

제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼이다. 모든 환은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼을 가지므로, 자명환이 아닌 환 $R$의 경우 $R\neq \operatorname {rad} (R)$이다.

환 $R$의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 양쪽 아이디얼이다.

나카야마 보조정리

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$이 주어졌다고 하자. $\operatorname {rad} R$는 아이디얼이므로,

$(\operatorname {rad} R)M=\left\{r_{1}m_{1}+r_{2}m_{2}+\cdots +r_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;r_{1},\dots ,r_{k}\in \operatorname {rad} R,\;m_{1},\dots ,m_{k}\in M\right\}\subseteq M$

는 $_{R}M$의 부분 가군을 이룬다. 나카야마 보조정리(영어: Nakayama lemma)에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다.

• $M$은 유한 생성 왼쪽 가군이 아니다.
• $(\operatorname {rad} R)M\subsetneq M$이다.
• $M=0$이다.

증명:

$_{R}M$이 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. $m_{1},\dots ,m_{k}\in M$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• (생성 집합) $Rm_{1}+Rm_{2}+\cdots +Rm_{k}=M$
• (극소성) 임의의 $1\leq i\leq k$에 대하여, $Rm_{1}+Rm_{2}+\cdots +Rm_{i-1}+Rm_{i+1}+\cdots +Rm_{k}\neq M$

$M$이 영가군이 아니므로 $k\geq 1$이다.

귀류법을 사용하여, $\operatorname {rad} (R)M=M$이라고 가정하자. 그렇다면,

$\sum _{i=1}^{k}m_{i}=\sum _{i=1}^{k}j_{i}r_{i}m_{i}$

가 되는 $r_{1},\dots ,r_{k}\in R$ 및 $j_{1},\dots ,j_{k}\in \operatorname {rad} (R)$가 존재한다. 제이컵슨 근기의 성질에 의하여, 모든 $1\leq i\leq k$에 대하여 $1-j_{i}r_{i}\in R^{\times }$는 가역원이다. 따라서,

$m_{1}=-(1-j_{1}r_{1})^{-1}\sum _{i=2}^{k}(1-j_{i}r_{i})m_{i}$

가 되며, 이는 $\{m_{1},\dots ,m_{k}\}$의 극소성과 모순된다.

제이컵슨 근기의 원소의 성질

환 $R$의 원소 $r\in R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $r\in \operatorname {rad} R$이다.
• 임의의 왼쪽 단순 가군 $M$에 대하여, $rM=\{0\}$이다.
• 임의의 오른쪽 단순 가군 $M$에 대하여, $Mr=\{0\}$이다.
• 모든 왼쪽 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$에 대하여, $r\in {\mathfrak {m}}$
• 모든 오른쪽 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$에 대하여, $r\in {\mathfrak {m}}$
• 모든 $s\in R$에 대하여, $1-rs$는 가역원이다.
• 모든 $s\in R$에 대하여, $1-sr$는 가역원이다.
• 모든 $s,s'\in R$에 대하여, $1-srs'$는 가역원이다.

즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자들의 교집합이다. (이는 가환환의 영근기가 모든 소 아이디얼들의 교집합인 것과 유사하다.)

가환환 $R$의 제이컵슨 근기는 영근기를 부분 아이디얼로 갖는다.

${\sqrt {(0)}}\subseteq \operatorname {rad} R$

만약 가환환 $R$가 정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수라면, 제이컵슨 근기는 영근기와 같다.

예

환의 근기와 주각

체 $K$는 영 아이디얼와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다.

$\operatorname {rad} K=0$

$\operatorname {soc} K=K$

보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환 $\mathbb {Z}$의 근기는 영 아이디얼이다.

국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$의 근기는 (극대 아이디얼이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$이다.

정수환의 몫환 $\mathbb {Z} /(n)$의 극대 아이디얼들은 $n\in \mathbb {Z}$의 소인수들의 주 아이디얼이다. 따라서, $n$의 소인수 분해가

$n=\prod _{i}p_{i}^{n_{i}}$

라면, $\mathbb {Z} /(n)$의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 영근기와 같으며, 만약 $n$이 제곱 인수가 없는 정수라면 이는 영 아이디얼과 같다.

$\operatorname {rad} (\mathbb {Z} /(n))={\sqrt {(0)}}=(\prod _{i}p_{i})\subseteq \mathbb {Z} /(n)$

아벨 군의 근기와 주각

아벨 군은 정수환 $\mathbb {Z}$ 위의 가군과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.

순환군

무한 순환군 $\mathbb {Z}$은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수 $p$에 대하여 $p\mathbb {Z}$의 꼴이다. 따라서, 근기와 주각 둘 다 자명군이다.

$\operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=\operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=0$

임의의 자연수 $n$의 소인수 분해

$n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기

$\operatorname {rad} (n)=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}$

를 정의할 수 있다. $n$차 순환군 $\mathbb {Z} /n$의 극소 부분군은 $n$의 소인수 $p_{i}$ 크기의 순환군 $(n/p_{i})\mathbb {Z} /n$이며, 극대 부분군은 $n/p_{i}$ 크기의 순환군 $(p_{i})\mathbb {Z} /n$에 대응한다. 따라서, 이 경우

$\operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(n/\operatorname {rad} n))$

$\operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(n/\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(\operatorname {rad} n)$

이다.

나눗셈군

나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.

$\operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\mathbb {Q}$

$\operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=0$

프뤼퍼 군의 부분군들은

$0\subsetneq p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq p^{-2}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subset \mathbb {Z} (p^{\infty })$

이므로, 그 유일한 극소 부분군은 $p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z}$이며, 이는 그 주각과 같다.

$\operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=\mathbb {Z} (p^{\infty })$

$\operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z}$

역사

환의 주각의 개념은 장 디외도네가 1942년에 도입하였다.^:168

제이컵슨 근기의 개념은 네이선 제이컵슨이 1945년에 도입하였다.

나카야마 보조정리는 나카야마 다다시가 1951년에 도입하였다.

외부 링크

• “Jacobson radical”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Radical of rings and algebras”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Socle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Jacobson radical”. 《nLab》 (영어). 
• “Socle”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: Jacobson radical”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Characterisation of Jacobson radical”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Nakayama's lemma”. 《ProofWiki》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2012년 5월 30일). “The Jacobson radical”. 《Annoying Precision》 (영어). 
• “Radical of a module”. 《Mathematics and Such》 (영어). 2015년 1월 9일. 
• “Origin of the socle of a module” (영어). Math Overflow. 
• “How to memorise (understand) Nakayama's lemma and its corollaries” (영어). Math Overflow. 

같이 보기

• 영근기
• 소근기
• 반원시환