결합법칙

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수학에서 결합법칙(結合 法則)은 이항연산이 만족하거나 만족하지 않는 성질이다. 한 식에서 연산이 두 번 이상 연속될 때, 앞쪽의 연산을 먼저 계산한 값과 뒤쪽의 연산을 먼저 계산한 결과가 항상 같을 경우 그 연산은 결합법칙을 만족한다고 한다.

실수덧셈곱셈은 결합법칙을 만족한다. 예를 들어 다음 식은 참이다.

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

결합법칙이 성립하지 않는 가장 쉬운 예는 실수뺄셈일 것이다. 다음 식에서,

(8 - 7) - 3 ≠ 8 - (7 - 3)

좌변과 우변의 결과값은 각각 -2와 4로 서로 다르다. 따라서 실수는 뺄셈에 대하여 결합법칙이 성립하지 않는다.

정의[편집]

집합 S에 대해 정의된 이항 연산 *이 결합법칙을 만족하면 다음 식이 성립한다.

(x*y)*z = x*(y*z)\qquad\forall x,y,z \in S

이 때 좌변과 우변의 값은 연산을 수행하는 순서에 영향을 받지 않는다. 이 법칙은 * 연산이 세 번 이상 나타날 때에도 확장해서 적용할 수 있으며, 따라서 *가 결합법칙을 만족하면 연산 순서를 따로 지정하지 않아도 모호함 없이 수식의 값이 결정된다. 따라서 보통 위의 수식을 괄호 없이 다음과 같이 쓴다.

x*y*z

예시[편집]

또한 선형 변환이 행렬의 곱셈으로 표현되므로 선형 변환 역시 결합법칙을 만족한다.

  • 집합교집합합집합 연산은 각각 결합법칙이 성립한다.
  • 각 함수의 정의역과 치역이 올바르게 정의된 함수 합성도 결합법칙을 만족한다. 즉 h: M \to N, \ g: N \to P, \ f: P \to Q인 세 함수가 있을 때,
    (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) = f \circ g \circ h