아르틴 환

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환론에서 아르틴 환(영어: Artinian ring)은 아이디얼들이 내림사슬 조건(descending chain condition)을 만족하는 이다. 에밀 아르틴의 이름을 따 지어졌다. 뇌터 환의 반대 개념이다.

정의[편집]

우선 내림사슬 조건을 다음과 같이 정의한다.

주어진 환에 대하여, 임의의 일련의 (좌 또는 우) 아이디얼들의 포함관계 I_1\supset I_2\supset\cdots I_k\supset\cdots가 주어졌을 때 I_n=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdotsn이 항상 존재할 경우, 그 환은 내림사슬 조건을 만족한다고 말한다.
  • 환의 좌 아이디얼들이 내림사슬 조건을 만족하면 이를 좌 아르틴 환(left-Artinian ring)이라 한다.
  • 환의 우 아이디얼들이 내림사슬 조건을 만족하면 이를 우 아르틴 환(right-Noetherian ring)이라 한다.
  • 좌 뇌터 환인 동시에 우 뇌터 환인 경우 이를 아르틴 환이라 한다.

가환환의 경우 좌 아이디얼과 우 아이디얼의 구분이 없으므로 위의 세 개념은 전부 동일하다.