아르틴 환

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환론에서 아르틴 환(영어: Artinian ring)은 아이디얼들이 내림사슬 조건(영어: descending chain condition)을 만족하는 이다. 에밀 아르틴의 이름을 따 지어졌다. 표면적으로는 뇌터 환의 반대 개념이지만, 홉킨스-레비츠키 정리(영어: Hopkins–Levitzki theorem)에 따라 뇌터 환보다 약한 개념이다.

정의[편집]

우선 내림사슬 조건을 다음과 같이 정의한다.

주어진 환에 대하여, 임의의 일련의 (좌 또는 우) 아이디얼들의 포함관계 I_1\supset I_2\supset\cdots I_k\supset\cdots가 주어졌을 때 I_n=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdotsn이 항상 존재할 경우, 그 환은 내림사슬 조건을 만족한다고 말한다.
  • 환의 좌 아이디얼들이 내림사슬 조건을 만족하면 이를 좌 아르틴 환(영어: left-Artinian ring)이라 한다.
  • 환의 우 아이디얼들이 내림사슬 조건을 만족하면 이를 우 아르틴 환(영어: right-Noetherian ring)이라 한다.
  • 좌 아르틴 환인 동시에 우 아르틴 환인 경우 이를 아르틴 환이라 한다.

가환환의 경우 좌 아이디얼과 우 아이디얼의 구분이 없으므로 위의 세 개념은 전부 동일하다.

성질[편집]

가환환 R에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.

즉, 대수기하학에서 아르틴 조건은 유한 이산공간에 해당하는 조건이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Atiyah, Michael Francis, Ian G. Macdonald (1969년). 《Introduction to commutative algebra》. Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8

바깥 고리[편집]