아르틴 환

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환론에서, 아르틴 환(Artin環, 영어: Artinian ring)은 아이디얼들이 내림 사슬 조건을 만족하는 이다. 표면적으로는 뇌터 환의 반대 개념이지만, 사실 뇌터 환보다 훨씬 강한 개념이다. 대수기하학적으로 아르틴 가환환의 스펙트럼은 0차원 뇌터 아핀 스킴에 해당한다.

정의[편집]

아르틴 가군[편집]

R 위의 좌·우 가군 M의 부분 가군들의 격자 \operatorname{Sub}(M)내림 사슬 조건을 만족시킨다면, M이 좌·우 아르틴 가군(영어: Artinian module)이라고 한다.

가환환 위의 가군의 경우, 좌·우 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

아르틴 환[편집]

R가 스스로 위의 좌·우 가군으로서 좌·우 아르틴 가군을 이룬다면, R좌·우 아르틴 환(영어: left/right Artinian ring)이라고 한다. 좌 아르틴 환이자 우 아르틴 환인 환을 아르틴 환이라고 한다. 환을 스스로의 가군으로 간주한다면, 부분 가군은 좌·우 아이디얼이다. 따라서, 이는 좌·우 아이디얼들의 격자내림 사슬 조건을 만족시키는 것과 같다.

가환환의 경우 좌 아이디얼과 우 아이디얼의 구분이 없으므로, 좌 아르틴 환 · 우 아르틴 환 · 아르틴 환의 개념이 전부 일치한다.

성질[편집]

아르틴 가군[편집]

R 위의 좌가군 M 및 부분 가군 N\subseteq M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:20, (1.20)

  • M이 아르틴 가군이다.
  • NM/N 둘 다 아르틴 가군이다.

(유사한 조건이 뇌터 가군에 대해서도 성립한다.)

좌 아르틴 환 R 위의 유한 생성 좌가군은 아르틴 가군이다.[1]:21, Proposition 1.21 (유사한 조건이 뇌터 가군에 대해서도 성립한다.)

R 위의 좌가군 M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:20, (1.19)

특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

아르틴 환[편집]

모든 유한환은 아르틴 환이다.

홉킨스-레비츠키 정리(영어: Hopkins–Levitzki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 모든 좌 아르틴 환은 좌 뇌터 환이다.
  • 모든 우 아르틴 환은 우 뇌터 환이다.
  • 모든 (양쪽) 아르틴 환은 (양쪽) 뇌터 환이다.

그러나 이는 가군에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 뇌터 가군이 아닌 아르틴 가군이 존재한다.

아르틴-웨더번 정리(영어: Artin–Wedderburn theorem)에 따르면, 임의의 환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

아르틴 가환환[편집]

가환환 R에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.

즉, 대수기하학에서 아르틴 조건은 유한 이산 공간에 해당하는 조건이다.

정역 R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 아르틴 환이다.
  • 이다.

뇌터 국소환 (R,\mathfrak m)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:90, Proposition 8.6

  • 아르틴 환이다.
  • \mathfrak m^n=0인 자연수 n\in\mathbb N이 존재한다.

아르틴 가환환에 대하여, 다음이 성립한다.

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아르틴 벡터 공간[편집]

K 위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다.

아르틴 아벨 군[편집]

아벨 군정수환 \mathbb Z 위의 가군이므로, 아르틴 아벨 군을 생각할 수 있다. 이 경우, 다음 포함 관계가 성립한다.

아벨 유한군 ⊊ 아르틴 아벨 군 ⊊ 꼬임군

여기서 꼬임군 G는 임의의 원소 g\in G에 대하여, ng=0인 양의 정수 n\in\mathbb Z^+가 존재하는 아벨 군이다.

우 아르틴 환이 아닌 좌 아르틴 환[편집]

무한 차수의 체의 확대

L/K
\dim_KL\ge\aleph_0

가 주어졌다고 하자. (예를 들어, L/K=\mathbb R/\mathbb Q를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각 행렬

\begin{pmatrix}L&L\\0&K\end{pmatrix}=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\colon a,b\in L,\;c\in K\right\}

를 생각하자. 이는 좌 아르틴 환이자 좌 뇌터 환이지만, 우 아르틴 환이나 우 뇌터 환이 아니다.[1]:22, Corollary 1.24

아르틴 환이 아닌 0차원 국소환[편집]

K에 대한 가한 무한 다항식환 K[x_1,x_2,\dots]몫환

K[x_1,x_2,\dots,x_n,\dots]/(x_1,x_2^2,\dots,x_n^n,\dots)

을 생각하자.[2]:91 이는 하나의 소 아이디얼만을 갖는 0차원 국소환이지만, 뇌터 환이 아니며 따라서 아르틴 환도 아니다.

아르틴 환이 아닌 0차원 가환 축소환[편집]

체들의 집합 \{K_i\}_{i\in I}를 생각하자. 그렇다면, 이들의 직접곱

\prod_{i\in I}K_i

은 항상 크룰 차원이 0차원인 축소환이다. 그렇다면 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • \prod_{i\in I}K_i는 아르틴 환이다.
  • \prod_{i\in I}K_i는 뇌터 환이다.
  • I는 유한 집합이다.

즉, 무한 개의 체들의 직접곱은 0차원 가환 축소환이지만 아르틴 환이 아니다.

뇌터 가군이 아닌 아르틴 가군[편집]

프뤼퍼 군

\mathbb Z(p^\infty)\cong\mathbb Z[1/p]/\mathbb Z

을 생각하자. 이는 아벨 군이므로, 정수환 위의 가군으로 생각할 수 있다. 이는 아르틴 가군이지만, 뇌터 가군이 아니다. 예를 들어, 부분군의 오름 사슬

\langle 1/p\rangle\subseteq\langle 1/p^2\rangle\subseteq\cdots

최대 원소를 갖지 않는다.

역사[편집]

에밀 아르틴의 이름을 따 지어졌다.

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsi-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 
  2. Atiyah, Michael Francis; Ian G. Macdonald (1969). 《Introduction to commutative algebra》 (영어). Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]