쌍대곱

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범주론에서, 쌍대곱(雙對-, coproduct)은 에 대한 쌍대(dual) 개념이다. 가군직합이나 집합서로소 합집합이 특수한 경우다. 항등사상 이외의 사상을 포함하지 않는 그림차극한(colimit)으로 생각할 수 있다.

정의[편집]

범주 \mathcal C의 대상의 집합 \{X_j\}_{j\in J}를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 쌍대곱 \coprod_{j\in J}X_j는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • 대상 X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)
  • X_j에 대하여, 사상 i_j\colon X_j\to X

이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C)와 사상 f_j\colon X_j\to Y에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 f\colon X\to Y가 존재한다.

fi_j=f_j.

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 f가 존재한다.

Coproduct-01.png

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각종 범주에서의 쌍대곱은 다음과 같다.

범주 쌍대곱
집합의 범주 \operatorname{Set} 분리합집합 A\sqcup B
위상공간의 범주 \operatorname{Top} 분리합공간 A\sqcup B
의 범주 \operatorname{Grp} 자유곱 A*B
아벨 군의 범주 \operatorname{Ab} 직합 A\oplus B (유한 직합은 곱과 일치)
K에 대한 벡터 공간의 범주 K-\operatorname{Vect} 직합 A\oplus B
R에 대한 좌가군의 범주 R-\operatorname{Mod} 직합 A\oplus B

같이 보기[편집]