극한 (범주론)

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수학의 한 분야인 범주론에서 극한(極限, 영어: limit)은 수학의 여러 분야에서 사용되는 보편적 구조물들(예로서 이나 역극한 등)이 갖는 공통된 성질을 보존하며 일반화시킨 추상적인 개념이다. 그 쌍대 개념인 쌍대극한(雙對極限, 영어: colimit)은 서로소 합집합이나 직합 등의 일반화이다. 극한과 쌍대극한은 보편 사상수반함자 등의 범주론적 개념과 밀접한 연관이 있다.

정의[편집]

J와 C가 범주이고 F가 J에서 C로의 함자이며 N이 C의 대상이라 하자. 이때 함자 F의 이란 J의 임의의 대상 X에 대해 N에 다음의 조건을 만족하는 사상 ψX : N → F(X)가 주어진 것이다:

임의의 f : X → Y ∈ J에 대해 F(f) o ψX = ψY.

함자의 극한이란 한마디로 보편뿔이다. 구체적으로 말해, F의 뿔 (L, φX)이 F의 극한이라는 것은 F의 임의의 뿔 (N, ψX)에 대해 유일한 사상 u : N → L이 존재해서 모든 X에 대해 φX o u = ψX을 만족시키는 경우를 말한다. 이를 두고 사상 ψX들이 L을 통해 u로 유일 분해된다고 말할 수도 있다.

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참고 문헌[편집]

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