귀납적 극한

범주론과 추상대수학에서, 귀납적 극한(歸納的極限, inductive limit 또는 direct limit)은 범주의 대상에 대한 일종의 극한이다. 기호는 $\varinjlim$ 또는 $\injlim$.

정의

범주 $\mathcal C$에 대하여, 대상의 집합 $\mathcal X\subset\operatorname{ob}(\mathcal C)$와 사상의 집합 $\mathcal F\subset\hom(\mathcal C)$가 다음을 만족한다고 하자.

1. 모든 $f\in\mathcal F$에 대하여, $f\colon X\to Y$이면 $X,Y\in\mathcal X$이다.
2. $f,g\in\mathcal F\cap\hom(X,Y)$라면 $f=g$이다.
3. (반사성) 모든 $X\in\mathcal X$에 대하여, $1_X\in\mathcal F$이다.
4. (추이성) $f,g\in\mathcal F$이고 $fg$가 존재한다면 $fg\in\mathcal F$이다.
5. (유한집합의 상한의 존재) $X,Y\in\mathcal X$이라면, $f\colon X\to Z$, $g\colon Y\to Z$인 $f,g\in\mathcal F$, $Z\in\mathcal X$가 존재한다.

이러한 조건을 만족하는 $(\mathcal X,\mathcal F)$를 유향체계(有向體系, directed system)이라고 한다.

$(\mathcal X,\mathcal F)$가 유향체계라고 하자. 편의상 $\mathcal X=\{X_i\}$, $\mathcal F=\{f_{ij}\}$로 쓰자. 이 경우 $f_{ij}$가 존재한다면 $f_{ij}\colon X_i\to X_j$이다. 이 유향체계의 귀납적 극한 $\varinjlim\mathcal X$은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

• 대상 $X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$
• 각 $X_i\in\mathcal X$에 대하여, 사상 $\phi_i\colon X_i\to X$

이들은 다음과 같은 보편 성질(universal property)을 만족하여야 한다. $\phi_i=\phi_jf_{ij}$이어야 하고, 또한 임의의 또다른 대상 $Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$와 사상들 $\psi_i\colon X_i\to Y$에 대하여, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 사상 $u\colon X\to Y$가 존재하여야 한다.

이를 보통 $\varinjlim X_i=X$로 쓴다.

일반적인 범주에서 귀납적 극한은 존재하지 않을 수도 있다.다만, 흔히 쓰이는 대수적 구조의 범주(군이나 환의 범주, 주어진 환에 대한 가군의 범주 따위)의 경우에는 항상 존재한다. 또한 집합이나 위상공간의 범주에서도 항상 존재한다.

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the Working Mathematician》, Graduate Texts in Mathematics 5, 2판, Springer-Verlag