분리합집합

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수학에서, 분리합집합(分離合集合, 영어: disjoint union) 또는 서로소 합집합(-素合集合)은 합집합의 개념을 변형시켜서, 각 원소들이 어떤 집합에서 왔는지에 대한 정보를 포함시킨 것이다. 기호는 \sqcup.

정의[편집]

집합들의 집합 \{A_i\}_{i\in I}의 원소들의 분리합집합 \bigsqcup_{i\in I}A_i은 다음과 같이 정의된다.

\bigsqcup_{i\in I}A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) : x \in A_i\}.

이 집합의 원소들은 순서쌍 (x,i)로, 여기에서 i는 원소 x가 집합 Ai에서 왔음을 알려주는 지표의 역할을 한다. 각 Ai는 서로소 합집합 안에 A_i^* = \{(x,i) : x \in A_i\}로 자연스럽게 묻힌다. 여기에서 i ≠ j일 경우, 설령 Ai와 Aj에 공통적으로 속하는 원소가 있다 해도 Ai*와 Aj*는 서로소이다.

일반적인 합집합(\bigcup, \cup)과 마찬가지로, 유한 개의 집합들의 분리합집합은 작은 기호 \sqcup으로 다음과 같이 쓴다.

\bigsqcup_{i\in\{1,2\}}A_i=A_1\sqcup A_2