부분환

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수학에서 부분환(subring)은 부분집합으로 그 자신도 환인 것을 말한다. 즉, 부분환은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있으며, 덧셈과 곱셈에 대한 항등원을 포함한다. (단, 환을 정의할 때 단위원(곱셈에 대한 항등원)이 존재한다는 조건을 포함시키지 않은 경우에는 물론 부분환도 단위원을 포함할 필요가 없다. 아래 관련 항목을 참고할 것.)

위와 동치인 정의로, 환 (R, +, *)의 부분환은 군 (R, +)의 부분군으로서 단위원을 포함하고 곱셈에 대해 닫혀 있는 것이다.

아이디얼과의 관계[편집]

진 아이디얼은 단위원을 포함하지 않으므로 결코 부분환이 될 수 없다. 예를 들어, Z의 아이디얼은 nZ의 형태이며, 이것이 부분환이 되기 위해서는 단위원을 포함해야 하므로 n = 1일 수밖에 없고, 이때에는 환 전체가 되어 버린다.

환을 정의할 때 단위원이 존재한다는 조건을 포함시키지 않을 경우, 부분환은 0을 포함하고 덧셈과 뺄셈, 곱셈에 대해 닫혀 있기만 하면 된다. 즉, 이 경우에는 모든 아이디얼이 부분환의 정의를 만족한다.