준군

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추상대수학범주론에서, 준군(準群, groupoid 그루포이드[*])은 과 유사한 대수적 구조이나, 그 위의 이항연산이 모든 원소에 대해 정의되어야 한다는 조건이 없다. 즉, 결합법칙을 만족하는 부분적으로 정의된 이항연산이 존재하고, 역원이 항상 존재하는 집합이다.

정의[편집]

대수적 정의[편집]

집합 G 위에 부분적으로 정의된 이항연산 *와 모든 곳에서 정의된 함수 -1이 주어져서, G의 임의의 원소 a,b,c에 대해 아래의 조건들이 만족되는 경우 이를 준군이라 한다.

  • 결합법칙: (a*b)*c와 a*(b*c) 둘 중 한 쪽이 정의되는 경우 나머지 한 쪽도 정의되며, 이때 두 곱의 값은 동일하다.
  • 항등원: a*b가 정의될 경우 언제나 순서에 무관하게 a*b*b-1 = a, a-1*a*b = b이다.
  • 역원: a-1*a와 a*a-1은 언제나 정의된다.

범주론적 정의[편집]

범주론의 용어를 쓰면, 준군은 모든 사상동형사상인 (작은) 범주다. (여기서 작은 범주란 그 대상과 사상의 모임집합인 범주다.) 이 정의는 대수적 정의와 동등한데, 대수적 정의에서의 원소가 범주론적인 정의에서의 사상에 대응된다. 임의의 두 사상을 합성할 수는 없지만, 만약 합성이 존재한다면 범주의 정의에 따라 그 합성은 결합법칙을 따르고, 합성에 대한 항등원이 존재한다. 또한, 모든 사상이 동형사상이므로 항상 역원이 존재한다.

역사[편집]

하인리히 브란트(독일어: Heinrich Brandt)가 1926년에 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Brandt, Heinrich (1927년 12월 1일). Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes. 《Mathematische Annalen》 96 (1): 360–366. doi:10.1007/BF01209171.