준군

추상대수학과 범주론에서, 준군(準群, groupoid 그루포이드^[*])은 군과 유사한 대수적 구조이나, 그 위의 이항연산이 모든 원소에 대해 정의되어야 한다는 조건이 없다. 즉, 결합법칙을 만족하는 부분적으로 정의된 이항연산이 존재하고, 역원이 항상 존재하는 집합이다.

정의

대수적 정의

집합 G 위에 부분적으로 정의된 이항연산 *와 모든 곳에서 정의된 함수 ^-1이 주어져서, G의 임의의 원소 a,b,c에 대해 아래의 조건들이 만족되는 경우 이를 준군이라 한다.

• 결합법칙: (a*b)*c와 a*(b*c) 둘 중 한 쪽이 정의되는 경우 나머지 한 쪽도 정의되며, 이때 두 곱의 값은 동일하다.
• 항등원: a*b가 정의될 경우 언제나 순서에 무관하게 a*b*b^-1 = a, a^-1*a*b = b이다.
• 역원: a^-1*a와 a*a^-1은 언제나 정의된다.

범주론적 정의

범주론의 용어를 쓰면, 준군은 모든 사상이 동형사상인 (작은) 범주다. (여기서 작은 범주란 그 대상과 사상의 모임이 집합인 범주다.) 이 정의는 대수적 정의와 동등한데, 대수적 정의에서의 원소가 범주론적인 정의에서의 사상에 대응된다. 임의의 두 사상을 합성할 수는 없지만, 만약 합성이 존재한다면 범주의 정의에 따라 그 합성은 결합법칙을 따르고, 합성에 대한 항등원이 존재한다. 또한, 모든 사상이 동형사상이므로 항상 역원이 존재한다.

역사

하인리히 브란트(독일어: Heinrich Brandt)가 1926년에 도입하였다.

참고 문헌

• (영어) Brown, Ronald (1987년 3월). From groups to groupoids: a brief survey. 《Bulletin of the London Mathematical Society》 19 (2): 113–134. doi:10.1112/blms/19.2.113.
• Ramsay, Arlan, Jean Renault (2001). 《Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics》, Contemporary Mathematics 282, American Mathematical Society. doi:10.1090/conm/282. ISBN 978-0-8218-2042-1
• Weinstein, Alan (1996년 7월). Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples. 《Notices of the American Mathematical Society》 43 (7): 744–752. arXiv:math/9602220. 재출판 Weinstein, Alan (2001). 〈Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples〉, 《Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics》. American Mathematical Society, 1–19쪽. doi:10.1090/conm/282/04675. ISBN 978-0-8218-2042-1