준군

추상대수학과 범주론에서 준군(準群, 영어: groupoid 그루포이드^[*])은 군과 유사한 대수적 구조이나, 그 위의 이항연산이 모든 원소에 대해 정의되어야 한다는 조건이 없다. 즉, 결합법칙을 만족하는 부분적으로 정의된 이항연산이 존재하고, 역원이 항상 존재하는 집합이다.

정의

대수적 정의

준군 $({\mathcal {G}},{\mathcal {S}},\cdot )$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 집합 ${\mathcal {G}}$
• ${\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}$의 부분 집합 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}$
• ${\mathcal {S}}$ 위에 정의된 함수 $\cdot \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {G}}$. $\cdot (g,h)$를 $gh$로 쓰자.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• (결합 법칙) 임의의 $g,h,k\in {\mathcal {G}}$에 대하여, 만약 $(g,h),(h,k)\in {\mathcal {S}}$라면 $(g,hk),(gh,k)\in {\mathcal {S}}$이며, 또한 $g(hk)=(gh)k$이다.
• (역원의 존재) 임의의 $g\in {\mathcal {G}}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 원소 $g^{-1}\in {\mathcal {G}}$가 존재한다. 이를 $g$의 역원(逆元, 영어: inverse)이라고 한다.
  • (정의역과 공역) $(g,g^{-1})\in {\mathcal {S}}$이자 $(g^{-1},g)\in {\mathcal {S}}$이다.
  • (오른쪽 항등원의 성질) 임의의 $h\in {\mathcal {G}}$에 대하여, 만약 $(h,g)\in {\mathcal {S}}$라면, $hgg^{-1}=h$이다.
  • (왼쪽 항등원의 성질) 임의의 $h\in {\mathcal {G}}$에 대하여, 만약 $(g,h)\in {\mathcal {S}}$라면, $g^{-1}gh=h$이다.

이 공리들로부터 임의의 원소의 역원이 유일함을 보일 수 있으나, (부분적으로 성립하는) 항등원은 유일하지 않다. 즉, 임의의 $g,h\in {\mathcal {G}}$에 대하여 $gg^{-1}\neq hh^{-1}$일 수 있다.

범주론적 정의

범주론적으로, 준군 ${\mathcal {G}}$는 모든 사상이 동형 사상인 작은 범주이다. 이 정의는 대수적 정의와 동치이며, 대수적 정의와 범주론적 정의 사이를 다음과 같이 번역할 수 있다.

대수적 정의	범주론적 정의
${\mathcal {G}}$의 원소	${\mathcal {G}}$의 사상
${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {G}}^{2}$	$\bigsqcup _{A,B,C\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {G}})}\hom _{\mathcal {G}}(A,B)\times \hom _{\mathcal {G}}(B,C)$
$(g,h)\in {\mathcal {S}}$	$\operatorname {codom} g=\operatorname {dom} h$
$\{gg^{-1}\colon g\in {\mathcal {G}}\}\subseteq {\mathcal {G}}$	${\mathcal {G}}$의 대상 집합 $\operatorname {Ob} ({\mathcal {G}})$
$gg^{-1},hh^{-1}\in {\mathcal {G}}$에 대하여, $\{k\in {\mathcal {G}}\colon (gg^{-1},k),(k,hh^{-1})\in {\mathcal {S}}\}$	$A,B\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {G}})$ 사이의 사상 집합 $\hom _{\mathcal {G}}(A,B)$
이항 연산 $\cdot \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {G}}$	사상의 합성

예

군의 개념은 하나의 대상을 가진 준군과 동치이다. 이 경우, 군의 원소는 준군의 사상들에 대응한다. 집합의 개념은 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 준군의 개념과 동치이다. 이 경우, 집합의 원소는 준군의 대상들에 대응한다. 따라서, 작은 범주의 개념이 모노이드의 개념과 집합의 개념을 합성한 것처럼, 준군의 개념은 군의 개념과 집합의 개념을 합성한 것으로 볼 수 있다.

작용 준군

 이 부분의 본문은 작용 준군입니다.

군 $G$가 집합 $S$ 위에 작용한다고 하자. 그렇다면, 작용의 데이터를 다음과 같이 작용 준군 $\textstyle G\int S$로 여길 수 있다.

• $\textstyle G\int S$의 대상은 $S$의 원소이다.
• $s,t\in S$에 대하여, $\hom _{G\int S}=\{g\in G\colon gs=t\}$이다.

기본 준군

 이 부분의 본문은 기본 준군입니다.

위상 공간 $X$ 및 $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 기본 준군 $\Pi (X,S)$은 다음과 같다.

• $\Pi (X,S)$의 대상은 $S$의 원소이다.
• $s,t\in S$에 대하여, $\hom _{\Pi (X,S)}(s,t)$는 $s$에서 $t$로 가는 경로들의 (양끝을 고정시킨) 호모토피류들의 집합이다.

역사

하인리히 브란트(독일어: Heinrich Brandt)가 1926년에 도입하였다.

참고 문헌

• Brown, Ronald (1987년 3월). “From groups to groupoids: a brief survey” (PDF). 《Bulletin of the London Mathematical Society》 (영어) 19 (2): 113–134. doi:10.1112/blms/19.2.113. 2013년 5월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 12월 26일에 확인함. 
• Ramsay, Arlan; Jean Renault (2001). 《Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics》. Contemporary Mathematics 282. American Mathematical Society. doi:10.1090/conm/282. ISBN 978-0-8218-2042-1. 
• Weinstein, Alan (1996년 7월). “Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 43 (7): 744–752. arXiv:math/9602220.  재출판 Weinstein, Alan (2001). 〈Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples〉. 《Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics》 (PDF). American Mathematical Society. 1–19쪽. doi:10.1090/conm/282/04675. ISBN 978-0-8218-2042-1. 

외부 링크

• “Groupoid”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Groupoid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Groupoid”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 내적 준군