R2 의 점 A에서 점 B로의 경로. 일반적으로 두 점을 잇는 경로는 여러 개가 있다. 일반위상수학 에서, 위상 공간 X 속의 경로 (經路, 영어 : path 패스[* ] )는 폐구간
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
X
{\displaystyle X}
연속함수 이다.
X
{\displaystyle X}
위상 공간 이라고 하자.
X
{\displaystyle X}
경로 는 연속 함수
f
:
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle f\colon [0,1]\to X}
[
0
,
1
]
⊂
R
{\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }
폐구간 이다. f(0)을 경로의 시작점 (initial point)이라 하고, f(1)을 경로의 끝점 (terminal point)이라 한다. 시작점과 끝점이 같은 경로를 고리 (영어 : loop )라고 한다.
여기에서 주의할 점은, 경로란 단순히 '곡선 과 유사한' X의 부분집합을 말하는 것이 아니라, 매개화 에 대한 정보도 함께 포함하고 있다는 것이다. 예를 들어 실직선의 f(x) = x와 g(x) = x2 은 서로 다른 경로다.
유클리드 공간의 경로 [ 편집 ] 유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
경로 는
c
:
[
a
,
b
]
→
R
n
{\displaystyle \mathbf {c} :\left[a,b\right]\to \mathbb {R} ^{n}}
사상 이다. 이러한 경로
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
t
{\displaystyle t}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \left[a,b\right]}
c
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {c} \left(t\right)}
집합
C
{\displaystyle C}
곡선 이라 하고
c
(
a
)
{\displaystyle \mathbf {c} \left(a\right)}
c
(
b
)
{\displaystyle \mathbf {c} \left(b\right)}
곡선
C
{\displaystyle C}
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
곡선
C
{\displaystyle C}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
c
(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {c} \left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)}
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
y
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)}
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
속도와 속력 [ 편집 ] 만약 경로
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
미분 가능 하다면 매
t
{\displaystyle t}
속도 는 다음과 같이 정의된다.
c
′
(
t
)
=
lim
h
→
0
c
(
t
+
h
)
−
c
(
t
)
h
{\displaystyle \mathbf {c} '\left(t\right)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {c} \left(t+h\right)-\mathbf {c} \left(t\right)}{h}}}
보통 그림으로 나타낼 때는 경로
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
곡선
C
{\displaystyle C}
속도벡터 를 그린다. 이때 그 지점에서의 속력 은 속도벡터 의 크기, 즉
‖
c
′
(
t
)
‖
{\displaystyle \left\Vert \mathbf {c} '\left(t\right)\right\|}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
c
(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {c} \left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)}
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
속도 는 연쇄법칙 에 의하여
c
′
(
t
0
)
=
(
x
′
(
t
0
)
,
y
′
(
t
0
)
,
z
′
(
t
0
)
)
=
x
′
(
t
0
)
i
+
y
′
(
t
0
)
j
+
z
′
(
t
0
)
k
{\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)=\left(x'\left(t_{0}\right),y'\left(t_{0}\right),z'\left(t_{0}\right)\right)=x'\left(t_{0}\right)\mathbf {i} +y'\left(t_{0}\right)\mathbf {j} +z'\left(t_{0}\right)\mathbf {k} }
속력 은 이 벡터 의 크기인
‖
c
′
(
t
0
)
‖
=
(
x
′
(
t
0
)
)
2
+
(
y
′
(
t
0
)
)
2
+
(
z
′
(
t
0
)
)
2
{\displaystyle \left\Vert \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)\right\|={\sqrt {\left(x'\left(t_{0}\right)\right)^{2}+\left(y'\left(t_{0}\right)\right)^{2}+\left(z'\left(t_{0}\right)\right)^{2}}}}
접벡터와 접선 [ 편집 ] 접선 문서를 참고하십시오.
속도벡터
c
′
(
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)}
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
c
(
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {c} \left(t_{0}\right)}
c
′
(
t
0
)
≠
0
{\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)\neq \mathbf {0} }
c
′
(
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)}
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
곡선
C
{\displaystyle C}
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
c
(
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {c} \left(t_{0}\right)}
직선 을
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
접선 이라고 한다. 이 직선 은 다음과 같은 경로
l
{\displaystyle \mathbf {l} }
l
(
t
)
=
c
(
t
0
)
+
(
t
−
t
0
)
c
′
(
t
0
)
{\displaystyle \mathbf {l} \left(t\right)=\mathbf {c} \left(t_{0}\right)+\left(t-t_{0}\right)\mathbf {c} '\left(t_{0}\right)}
참고 문헌 [ 편집 ] Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0 
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle f\colon [0,1]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5914a281d14b962dc4dbe09be786f025cb54d2)
![{\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ef6fb8c5d9b34f4ba677930a956bd62270f9a2)
![{\displaystyle \mathbf {c} :\left[a,b\right]\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04893a0f110b258d85a07203e7bacd9ad27452b1)
![{\displaystyle \left[a,b\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30926fb280a9fdf66fd931e14d4363cb824feaa)
접선 문서를 참고하십시오.
