대수적 수체

수학에서 대수적 수체(algebraic number field), 줄여서 수체(number field)는 유리수체 Q의 유한 확장(finite field extension)을 말한다. 즉, 수체는 Q를 포함하는 체로서 이를 Q 상의 벡터공간으로 보았을 때의 차원이 유한한 것이다. 수체는 대수적 수론의 주요 연구 주제이다.

정의

대수적 수체 F는 유리수체 Q의 유한차수 $n$차(finite degree $n$) 체의 확대(field extension)로 정의된다. 체의 확대는 F 자신이 체이면서 Q를 포함하는 것을 말한다. 유한차수 $n$차는 F를 Q-벡터 공간으로 간주할 때, $n$차 유한 차원이라는 의미이다.

예

• 가장 간단한 예는 유리수체 Q 그 자신이다.
• 가우스 유리수(Gaussian rational) Q(i)는 수체의 예가 될 수 있다. 이 수체의 원소는 다음과 같은 형태를 가진다.

$a + bi$

여기서 $a$와 $b$는 유리수이고, $i$는 허수단위가 된다. 연산은 일반적인 복소수의 연산과 동일하다.

• 제곱수로 나누어지지 않는 정수(Square-free integer) $d$에 대해 이차수체(Quadratic field) Q($\sqrt{d}$)도 수체의 예가 될 수 있다.
• 원분체(Cyclotomic field)

Q($\zeta_n$), $\zeta_n = exp (2\pi i / n)$

역시 Q를 포함하는 체이므로 수체이다.

대수적 정수와 정수 환

일반적으로 대수학에서 확장체 F / E가 대수적이라 함은, 더 큰 체 F의 모든 원소 f가 E의 원소를 계수로 갖는 다항식의 근이 되는 것을 말한다. 당연히 모든 유한 확장(finite field extension)은 대수적 확장(algebraic field extension)이 된다. 특히 대수적 수체에 이것을 적용하여, 대수적 수체의 모든 원소 f는 유리수 계수의 어느 다항식의 근으로 표현할 수 있다. 따라서 f는 대수적 수(algebraic number)로 취급할 수 있다. 주어진 다항식 $p$이 $p(f)=0$를 만족할 때, 최고차항의 계수로 양변을 나누어 필요하다면 최고차항이 1인 다항식으로 항상 만들 수 있다. 그러나 만약 이때도 여전히 모든 계수가 정수일 경우, f는 대수적 정수(Algebraic integer)가 된다. 모든 정수는 당연히 대수적 정수이다.

대수적 정수이면서 유리수인 수는 사실 정수이어야 함을 증명할 수 있고, 여기서 "대수적 정수"라는 말이 왔다. 유한히 생성된 모듈(Finitely generated module)의 성질에 따라, 두 대수적 정수의 곱은 여전히 대수적 정수가 된다. 이로부터 대수적 정수들은 F의 부분환(ring)을 이루며, $O_F$라고 표기한다. 체는 영인자(zero divisors)가 없고 이 성질은 모든 체의 부분환에 적용된다. 그러므로 이러한 정수 환(ring of integers)은 정역(integral domain)이 된다. 체 F는 정역 $O_F$의 분수체(Field of fractions)이다.

대수적 정수환은 세 가지 특징을 가진다

• O_F는 분수체 F 안에서 정수적으로 닫혀 있다(integrally closed).
• O_F는 뇌터 환(Noetherian ring)이다.
• 0 이 아닌 모든 영이 아닌 소 아이디얼(prime ideal)은 극대 아이디얼(maximal ideal)이다. 즉, 이 환의 크룰 차원(Krull dimension)은 1 이다. 일반적으로 이와 같은 성질을 가지는 환을 데데킨트 환 (혹은 데데킨트 정역)이라 하는데, 실제로 대수적 수체의 정수환은 데데킨트 정역의 대표적인 예이다.

정칙 표현

F가 Q상의 n차 확장체(extension field)라 하자. 다른 말로 하면 F는 Q상의 n차원 벡터공간 구조를 가진 체이다. 따라서 v₁, ..., v_n이 F의 기저(basis)일 때, F의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$x v_i = \sum a_{ij} v_j.$

따라서 x를 곱하는 연산을 유리계수 정사각행렬 X = [a_ij]로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v₁, ..., v_n에 대한 정칙 표현(regular representation)이라 한다. 행렬의 대각합이나 행렬식 및 고유다항식 등의 불변량은 x가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.

X의 고유다항식 xⁿ + c₁x^n − 1 + ... + c_n은 x를 0으로 갖는 일계수 다항식(monic polynomial)이다. X의 대각합은 -c₁이며, 이는 x에만 의존하므로 이를 x의 함수 T(x)로 쓰고 그 값을 'x의 대각합'이라 부른다. X의 행렬식은 (−1)ⁿc_n이며, 이 역시 x에만 의존하므로 이를 N(x)로 쓰고 'x의 노름'이라 한다. a가 Q의 원소이고 x, y가 F의 원소일 때, 대각합과 노름은 다음의 성질들을 만족한다.

• T(x + y) = T(x) + T(y)
• T(a) = aT(x)
• N(xy) = N(x)N(y)
• N(ax) = aⁿN(x)