유클리드 정역

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유클리드 정역(Euclid 整域, Euclidean domain), 또는 유클리드 환(-環, Euclidean ring)은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역을 부르는 말이다.

다음 포함 관계가 성립한다.

정역유일인수분해정역주 아이디얼 정역유클리드 정역

정의[편집]

정역 R 위의 유클리드 함수(영어: Euclidean function) \scriptstyle f: R \setminus \{0\} \to \mathbb N는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

  • 임의의 a\in Rb\in R\setminus\{0\}에 대하여,
a=bq+r
이며 r=0 또는 f(r)<f(b)q,r\in R가 존재한다.

유클리드 정역은 유클리드 함수가 적어도 하나가 존재하는 정역이다.

일부 문헌에서는 유클리드 함수의 정의에 다음 조건을 추가하기도 한다.

  • 임의의 a,b\in R\setminus\{0\}에 대하여, f(a)\le f(ab)

그러나 이 조건을 추가해도 유클리드 정역의 정의는 바뀌지 않는다. 즉, (더 약한 정의에 대한) 유클리드 함수를 갖춘 정역은 항상 더 강한 정의에 대한 유클리드 함수를 갖춘다.

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