유클리드 정역

유클리드 정역(Euclid 定域, Euclidean domain), 또는 유클리드 환(-環, Euclidean ring)은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역을 부르는 말이다.

다음 포함 관계가 성립한다.

정역 ⊃ 유일분해정역 ⊃ 주 아이디얼 정역 ⊃ 유클리드 정역 ⊃ 체

정의

R을 정역이라고 하자 R 에서 유클리드 함수 $\scriptstyle f: R \setminus \{0\} \rightarrow \N$는 기본적인 몫 나머지의 관계를 만족하는 함수이다.

• (EF1) a와 b가 R에 속하고 b가 0이 아닐때, R에 속하는 q 와 r 이 존재하여서 a = bq + r 이고, r = 0 또는 f(r) < f(b)을 만족한다.

유클리드 정역은 이런 함수가 적어도 1개 존재하는 정역을 가리킨다.

일부 문헌은 다음 조건을 요구한다.

• (EF2) 0이 아닌a 와 b 가 R에 속할때, f(a) ≤ f(ab).