유클리드 정역

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

유클리드 정역(Euclid 整域, Euclidean domain), 또는 유클리드 환(-環, Euclidean ring)은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역을 부르는 말이다.

다음 포함 관계가 성립한다.

정역유일인수분해정역주 아이디얼 정역유클리드 정역

정의[편집]

정역 R 위의 유클리드 함수(영어: Euclidean function) \scriptstyle f: R \setminus \{0\} \to \mathbb N는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

  • 임의의 a\in Rb\in R\setminus\{0\}에 대하여,
a=bq+r
이며 r=0 또는 f(r)<f(b)q,r\in R가 존재한다.

유클리드 정역은 유클리드 함수가 적어도 하나가 존재하는 정역이다.

일부 문헌에서는 유클리드 함수의 정의에 다음 조건을 추가하기도 한다.

  • 임의의 a,b\in R\setminus\{0\}에 대하여, f(a)\le f(ab)

그러나 이 조건을 추가해도 유클리드 정역의 정의는 바뀌지 않는다. 즉, (더 약한 정의에 대한) 유클리드 함수를 갖춘 정역은 항상 더 강한 정의에 대한 유클리드 함수를 갖춘다.

예시[편집]

  • 정수(\mathbb{Z}):

정역 \mathbb{Z}의 유클리드 함수 f: \mathbb{Z} \setminus \{0\} \to \mathbb{N}을 다음과 같이 정의하자.

f(n)=n.

임의의 a\in \mathbb{Z}b\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}에 대하여 a=bq+r이면서 r=0 또는 r<bq,r\in \mathbb{Z}가 존재한다는 것은 나눗셈 정리이다.

  • 다항식(\mathbb{C}[x]):

정역 \mathbb{C}[x]의 유클리드 함수 \phi: \mathbb{C}[x] \setminus \{0\} \to \mathbb{N}을 다음과 같이 정의하자.

\phi(f)=\operatorname{deg}f.

임의의 f\in \mathbb{C}[x]g\in \mathbb{C}[x]\setminus\{0\}에 대하여 f=gq+r이면서 r=0 또는 \operatorname{deg}r<\operatorname{deg}gq,r\in \mathbb{C}[x]가 존재한다는 것은 다음과 같이 증명할 수 있다.

증명[편집]

다항식의 차수에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 우선, 어떤 다항식을 그것보다 더 높은 차수의 다항식으로 나누거나, 나누어지는 다항식이 \operatorname{deg}f=0인 경우, 즉 f가 상수인 경우에는 언제나 몫을 0으로, 그리고 나머지를 나누어지는 다항식으로 두면 위 성질을 만족한다. 또한 나누는 다항식이 0이 아닌 상수인 경우에는 간단하게 나누어 떨어진다. 그러므로 나누는 다항식의 차수가 나누어지는 다항식의 차수보다 작거나 같은 경우에만 증명하면 충분하다.

\operatorname{deg}f=1이라면, 임의의 f보다 작거나 같은 차수를 가지는 g\in \mathbb{C}[x]\setminus\{0\}에 대하여,

f(x)=ax+b, g(x)=cx+d

라고 둘 수 있다. (a\ne0, 가정에서 c\ne0)

그러면 ax+b=(cx+d)\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c}이고, 조건을 만족한다.

\operatorname{deg}f=n일 때, 임의의 g\in \mathbb{C}[x]\setminus\{0\}에 대하여 f=gq+r이면서 r=0 또는 \operatorname{deg}r<\operatorname{deg}gq,r\in \mathbb{C}[x]가 존재한다고 가정하자.

\operatorname{deg}f=n+1일 때, f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_{n+1} x^{n+1}이라고 하자.

  1. 나누는 다항식 g의 차수가 n+1인 경우에는 간단하다. g(x)=b_0+b_1 x+\cdots+b_{n+1} x^{n+1}이라면, 몫을 \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}로 하고, 나머지는 f(x)-\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}g(x)로 두면, 위 조건을 만족한다.
  2. 나누는 다항식 g의 차수가 n 이하인 경우에는 다음과 같이 생각하자.
f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_{n+1} x^{n+1}=xh(x)+a_0.

그러면 h(x)의 차수는 n이다.

귀납법의 가정에 의해서, h=gq+r을 만족시키는 q,r\in \mathbb{C}[x]가 존재한다.

f(x)=xh+a_0=x(gq+r)+a_0=g(xq)+(xr+a_0).

위 식에서 \operatorname{deg}(xr+a_0)\le \operatorname{deg}g이다.

만약 \operatorname{deg}(xr+a_0) < \operatorname{deg}g라면, 조건을 만족하는 몫과 나머지를 찾았다.

만약 \operatorname{deg}(xr+a_0) = \operatorname{deg}g라면, \operatorname{deg}(xr+a_0) = \operatorname{deg}g \le n이므로, 다시 한 번 귀납법의 가정에 의해서,

xr+a_0=gQ+R

이고 조건을 만족하는 Q,R\in \mathbb{C}[x]가 존재한다.

즉, f(x)=xh+a_0=x(gq+r)+a_0=g(xq)+(xr+a_0)=g(xq)+gQ+R=g(xq+Q)+R이 되어서, 조건을 만족한다. 그러므로, 수학적 귀납법에 의해서 모든 차수의 다항식 f와 임의의 다항식 g에 대해서 주어진 조건을 만족하는 몫과 나머지를 찾을 수 있다.

또 다른 증명[편집]

S={f(x)-t(x)g(x)│t(x)∈F[x]}라 두자.

Case 1) 0이 S의 원소인 경우, Case 1에 의하면 f(x)-U(x)g(x)=0 을 만족시키는 U(x)∈F[x] 가 존재한다. 따라서 f(x)=U(x)g(x)가 된다. 그리하여 q(x)와 r(x)를 U(x)와 0 으로 택하면 정의의 두번째 조건을 만족시키게 된다.

Case 2) 0이 S의 원소가 아닌 경우, r(x)를 S의 원소 중 차수가 제일 작은 다항식이라 하자. 그러하면 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 를 만족시키는 q(x)∈F[x]와 r(x)∈F[x]가 존재하게 된다.

deg(r(x))≥ deg(g(x))라고 가정을 하고 deg(r(x))=h , deg(g(x))=m 이라고 하자. r(x)=c_hx^h+\cdots+c_0 , g(x)=b_mx^h+\cdots+b_0 라 둘 수 있다. r(x)-((c_h/b_m)x^{h-m}+\cdots)g(x) 를 생각해보면 r(x)-((c_h/b_m)x^{h-m}+\cdots)g(x)= wx^{h-1}+\cdots 이다. 괄호 안의 다항식을 k(x)라 두면 r(x)-k(x)g(x)=f(x)-q(x)g(x)-k(x)g(x)이므로 S의 원소이다. g(x)+k(x)는 S의 원소가 된다. 그리고 deg(g(x)+k(x))<deg(r(x)) 가 되므로 모순이 발생하게 된다. 따라서 deg(r(x))<deg(g(x) 이다.

이리하여 f(x)-q(x)g(x)+r(x)deg(q(x))<deg(f(x)), deg(r(x))<deg(g(x)) 이거나 r(x)=0을 만족시키는 q(x),r(x)∈F[x] 가 항상 존재한다.

환 예시[편집]

  • 체 K 위에서 다항식 환 K[X] 라 하자. 각각의 0이 아닌 다항식에 대해, 차수가 P가 되는 f(P)를 정의하라.
  • 체 K 위에서 형식적 멱급수의 환을 K[[X]]라 하자. 각각의 0이 아닌 멱급수 P에 대하여, f(P)를 P에서 나타나는 X의 최소의 멱의 차수로서 정의하라.
  • 가우스 정수의 환 \mathbb Z[i]에서, f(a + bi) = a2 + b2 을 Gaussian 정수 a + bi 의 사각화된 표준 정의해라.
  • 정수환 \mathbb Z에서, f(n) = |n| (n의 절댓값)을 정의해라.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]