환의 표수

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추상대수학에서, (1을 갖춘) 표수(標數, characteristic)는 그 환이 부분환으로 포함하는 순환환 \mathbb Z/n\mathbb Z의 크기 n이다. 만약 \mathbb Z를 부분환으로 포함할 경우, 환의 표수는 0으로 정의한다.

정의[편집]

R이 (1을 갖춘) 이라고 하자. 정수\mathbb Z는 환의 범주 \operatorname{Ring}시작 대상이므로, 유일한 환 준동형사상 \mathbb Z\to R이 존재한다. 이 준동형사상의 \mathbb Z아이디얼이며, (n) (n=0,1,2,\dots)의 꼴이다. 이 음이 아닌 정수 n을 환 R표수라고 한다.

표수가 0이 아닌 환 R순환환 \mathbb Z/(n)=\mathbb Z/n\mathbb Z를 부분환으로 가진다. 표수가 0인 환은 정수환 \mathbb Z/(0)=\mathbb Z를 부분환으로 가진다. 즉, 1\in R이라고 하면, 환의 표수는

\underbrace{1+\cdots+1}_{n} = 0

인 가장 작은 양의 정수다. 만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면 환의 표수는 0이다.

성질[편집]

두 환 R, S 사이에 환 준동형 사상 R\to S가 적어도 하나 이상 존재한다면, 항상:\operatorname{char}S\mid\operatorname{char}R 이다. 즉, S의 표수는 R의 표수의 약수이다. 특히, RS인 경우, 체의 표수는 소수이므로 \operatorname{char}S=\operatorname{char}R이어야 한다.

체의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 모든 유한체의 표수는 소수이며,유한체의 크기는 그 표수의 거듭제곱이다. 즉, 어떤 유한체 k의 표수가 p라면, 그 크기는 |k|=p^n (n=1,2,3,\dots)의 꼴이다. (다만, 양의 표수이지만 무한한 체도 존재한다.) 모든 순서체의 표수는 0이다.

참고 문헌[편집]

  • Dummit, D. S., Foote, R. M. (1998). 《Abstract Algebra》 2판. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. 422쪽. 

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같이 보기[편집]