환의 표수

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추상대수학에서, (1을 갖춘) 표수(標數, characteristic)는 그 환이 부분환으로 포함하는 순환환 \mathbb Z/n\mathbb Z의 크기 n이다. 만약 \mathbb Z를 부분환으로 포함할 경우, 환의 표수는 0으로 정의한다.

정의[편집]

R가 (1을 갖춘) 이라고 하자. 정수\mathbb Z는 환의 범주 \operatorname{Ring}시작 대상이므로, 유일한 환 준동형 \mathbb Z\to R이 존재한다. 이 준동형의 \mathbb Z아이디얼이며, (n) (n=0,1,2,\dots)의 꼴이다. 이 음이 아닌 정수 n을 환 R표수라고 한다.

표수가 0이 아닌 환 R순환환 \mathbb Z/(n)=\mathbb Z/n\mathbb Z를 부분환으로 가진다. 표수가 0인 환은 정수환 \mathbb Z/(0)=\mathbb Z를 부분환으로 가진다. 즉, 1\in R이라고 하면, 환의 표수는

\underbrace{1+\cdots+1}_{n} = 0

인 가장 작은 양의 정수다. 만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면 환의 표수는 0이다.

유사환의 표수[편집]

유사환 R의 표수는 다음과 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수 n\in\mathbb Z^+이다.

nr=\overbrace{r+\cdots+r}^n=0\qquad\forall r\in R

만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면, R의 표수는 0이다.

이렇게 정의한 유사환의 표수는 환의 표수와 일치한다. 이 정의는 유사환의 덧셈군 구조에만 의존하며, 따라서 일반적인 아벨 군에 대해서도 정의할 수 있다. 아벨 군의 원소들의 차수는 최소공배수에 대하여 닫혀 있으므로, (유사)환의 표수는 그 덧셈군의 원소들의 최대 차수와 같다. (만약 원소의 차수들의 상한이 존재하지 않는다면 표수는 0이다.)

성질[편집]

두 환 R, S 사이에 환 준동형 R\to S가 적어도 하나 이상 존재한다면, 항상

\operatorname{char}S\mid\operatorname{char}R

이다. 즉, S의 표수는 R의 표수의 약수이다. 특히, RS인 경우, 체의 표수는 소수이므로 \operatorname{char}S=\operatorname{char}R이어야 한다.

모든 소환(특히, 모든 정역 · · 나눗셈환)의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. (이는 소환중심정역이고, 정역분수체이며, 중심을 취하는 것과 분수체를 취하는 것은 표수를 바꾸지 않는 연산이기 때문이다.) 모든 순서체의 표수는 0이다.

표수가 소수 p유사환 R에서, 다음과 같은 분배 법칙이 성립하며, 이를 신입생의 꿈(新入生-, 영어: freshman’s dream)이라고 한다.

(r+s)^p=r^p+s^p\qquad\forall r,s\in R

이는 자명하지 않는 이항 계수들이 모두 p의 배수이므로 사라지게 되기 때문이다. 이 이름은 이 항등식이 신입생이나 저지를 수 있는 흔한 "실수"처럼 보이기 때문이다.

[편집]

유사환 R단위화 \hat R의 표수는 항상 0이다.

R모노이드 M에 대하여, 모노이드 환 R[M]의 표수는 R의 표수와 같다.

\operatorname{char}R[M]=\operatorname{char}R

모든 유한체의 표수는 소수이며, 유한체의 크기는 그 표수의 거듭제곱이다. 즉, 다음과 같다.

\operatorname{char}\mathbb F_{p^n}=p

K의 표수와, 그 대수적 폐포의 표수는 같다.

\operatorname{char}\bar K=\operatorname{char}K

참고 문헌[편집]

  • Dummit, D. S., Foote, R. M. (1998). 《Abstract Algebra》 2판. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. 422쪽. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]