최소공배수

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최소공배수(最小公倍數)는 n개의 정수 또는 다항식에 대해 모두의 배수가 되는 최소의 자연수 또는 다항식을 말한다. 이중 하나가 0일 때에 최소공배수는 0으로 한다. 최소공배수는 LCM(least common multiple)이라고 자주 줄여쓰며, 정수 a, b의 최소공배수는 lcm(a, b)로 표기한다. 예를 들면,

lcm(12, 18) = 36
lcm(17, 11) = 187

등이다.

분수끼리 더하거나 뺄 때, 분모의 최소공배수, 즉 최소공분모를 구하면 쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어,

{2\over21}+{1\over6}={4\over42}+{7\over42}={11\over42}

는 최소공분모 lcm(21, 6) = 42를 이용하여 계산한 것이다.

계산법[편집]

최소공배수는 최대공약수 GCD(greatest common divisor)를 이용해 구한다. 정수 a, b에 대해서, 최소공배수는

\operatorname{lcm}(a,b) = {|ab| \over \gcd (a,b)}

로 쓸 수 있다. 예를 들면, \operatorname{lcm}(192,72) = {|192 \times 72| \over \gcd (192,72)}={192 \times 72 \over 24}=576이다. 즉 \operatorname{lcm}(192,72) =576이다. 만약 구하고자 하는 두 수 ab 중 하나가 0이라면, \gcd (a,0)=|a|이므로 문제가 되지 않는다. 그런데 둘 다 0이라면 \gcd (0,0)=0이므로 0으로 나누어야 하기 때문에 계산이 불가능하다. 하지만 \operatorname{lcm}(0,0)=0이기 때문에 이도 크게 문제가 되지는 않는다.

최소공배수는 소인수분해로도 구할 수 있다. 192와 72를 소인수분해하면 각각

192=2^6 \times 3=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3

72=2^3 \times 3^2=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3

이다. 이때, 최고차항 끼리 곱한다. 즉 2^6 \times 3^2=576이므로 최소공배수는 576이다.

관련 항목[편집]