환 (수학)

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추상대수학에서, (環, 영어: ring)은 덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조의 하나이다. 환은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고, 분배법칙과 곱셈의 결합법칙을 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있다. 환을 연구하는 추상대수학의 분야를 환론(環論, 영어: ring theory)이라고 한다.

가환환은 비가환환보다 훨씬 많은 성질이 알려져 있으며, 이들의 연구를 가환대수학이라고 한다. 가환대수학은 대수기하학대수적 수론과 깊은 관련이 있다. 1980년대 이후에는 비가환 기하학양자군 등의 이론이 나타나면서 비가환환에 대해서도 상당한 연구가 이루어지고 있다.

환에 대한 관련된 개념으로, 환의 표현(혹은 가군)이나 군환, 나눗셈환, 보편포락대수 등의 특수한 환 및 인접 분야인 호몰로지 대수학 등이 있다.

정의[편집]

집합 R과 이항연산 +가 다음 조건을 만족하면 (R, +, ∗)를 환이라 한다. 이 때 흔히 +을 ‘덧셈’, 을 ‘곱셈’이라 부르지만, 꼭 수에서의 덧셈과 곱셈과 같은 연산일 필요는 없다.

곱셈 항등원의 존재 조건을 생략하면 유사환이라는 개념을 얻는다. (일부 저자들은 모든 유사환을 "환"이라고 부르기도 한다.) 환은 덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립해야 하지만, 곱셈에서는 그러한 조건이 필요하지 않다. 곱셈에서도 교환법칙이 성립하는 환을 가환환이라고 부른다. 보통, 곱셈 기호는 생략하는 경우가 많다. 예를 들어, a\cdot b=ab이다.

아벨 군범주 \operatorname{Ab}텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 범주론적으로, 환은 아벨 군의 모노이드 범주에서의 모노이드 원소이다.

환의 또 다른 정의로서는, 환은 아벨 군의 범주에 대하여 풍족한 범주(영어: enriched category) 가운데, 하나의 대상을 갖는 것이다. 이 경우, 환의 원소들은 범주의 유일한 원소의 자기 사상들이다.

환에서는 곱셈에 대해서 역원이 꼭 필요하지는 않다. 역원이 존재하는 원소가 있는 경우, 그 원소를 가역원라고 부른다.

환 사이에, 환의 연산들을 보존하는 함수환 준동형 사상이라고 한다.

가군과 아이디얼[편집]

환의 특정 부분 집합을 아이디얼이라고 한다. 환 R아이디얼 \mathfrak a\subseteq R이 주어지면, 이에 대한 몫환 R/\mathfrak a을 정의할 수 있다. 이는 과 그 정규부분군이 주어졌을 때, 몫군을 취할 수 있는 것과 마찬가지다.

이나 모노이드집합 위에 왼쪽·오른쪽에서 작용할 수 있는 것처럼, 환의 경우 아벨 군 위에 왼쪽·오른쪽으로 작용할 수 있다. 이렇게 환의 (왼쪽·오른쪽) 작용을 갖춘 아벨 군을 왼쪽·오른쪽 가군이라고 한다. 왼쪽·오른쪽 아이디얼은 왼쪽·오른쪽 가군의 특수한 경우이다. 대략, 군의 작용과 환의 작용에 대하여 다음과 같이 대응되는 개념들이 존재한다.

군론 환론
군의 왼쪽·오른쪽 작용 왼쪽·오른쪽 가군
부분군 부분환
정규 부분군 양쪽 아이디얼
몫군 몫환
추이적 작용 순환 가군
안정자군 소멸자
충실한 작용 충실한 가군

성질[편집]

기초적 성질[편집]

R의 임의의 원소 a,b,c\in R에 대하여, 다음이 성립한다. 여기서 0,1\in R는 환의 덧셈 및 곱셈 항등원이다.

  • 0a=a0=0
  • (-1)a=a(-1)=-a
  • (-a)b=a(-b)=-(ab)=(-1)ab. 이는 위 성질과 곱셈의 결합 법칙으로부터 자명하다.
  • 만약 ab가역원이라면, ab 역시 가역원이며, 그 역원은 (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}이다.

환 가운데, 0=1인 것은 자명환밖에 없다. 이는 임의의 원소 r에 대하여 r=1r=0r=0이기 때문에, 원소가 0밖에 없기 때문이다.

범주론적 성질[편집]

환과 환 준동형의 범주 \operatorname{Ring}대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 각종 극한과 쌍대극한은 다음과 같다.

범주론의 개념 환론의 개념
시작 대상 정수환 \mathbb Z
끝 대상 자명환 0
직접곱 \prod_{i\in I}R_i
쌍대곱 환의 자유곱
동등자 집합함수의 범주에서의 동등자
쌍대동등자 f,g\colon R\to S의 쌍대동등자는 아이디얼 (f(r)-g(r)\colon r\in R)\subseteq S에 대한 몫환이다.
단사 대상 자명환 0
모노이드 대상 가환환

종류[편집]

다양한 종류의 특별한 환들은 특별한 이름을 갖는다. 이들 가운데 대표적인 것들 및 이들 사이의 함의 관계는 다음과 같다.[1]:153

정역
나눗셈환 영역 축소환
左·右 원시환 소환 반소환

위 개념들과 독립적으로, 뇌터 환은 "지나치게 크지 않은" 환이다. 아르틴 환은 "매우 작은 (0차원)" 환이다. 모든 아르틴 환은 뇌터 환이나, 그 역은 성립하지 않는다.

가환환[편집]

곱셈에 대해 교환 법칙이 성립하는 환을 가환환이라고 한다. 가환환의 경우 다양한 특수한 개념들이 존재하는데, 그 포함 관계는 다음과 같다.

가환환정역정수적으로 닫힌 정역크룰 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역유일 인수 분해 정역데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역유클리드 정역

특히, 모든 는 가환환이다.

만약 덧셈에 대한 항등원 0을 제외한 모든 환의 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지고 있다면 이를 나눗셈 환이라고 부른다. 가환환인 나눗셈환와 같다.

분류[편집]

모든 환들을 분류하는 것은 현재 수학으로서는 불가능하다. 다만, 일반적인 환에 대하여 다음과 같은 4단계의 대략적인 구조론이 존재한다.[1]:196, (12.8)

  1. 임의의 환 R는 그 제이컵슨 근기 \operatorname J(R)몫환 R/\operatorname J(R)로 분해되며, 제이컵슨 근기에 대한 몫환은 항상 반원시환(영어: semiprimitive ring)이다.
  2. 모든 반원시환 R는 왼쪽 원시환들의 직접곱 \textstyle\prod_iR_i부분환 \textstyle R\subseteq\prod_iR_i으로 나타내어지며, 이 경우 사영 준동형 R\to R_i전사 함수이다.
  3. 모든 왼쪽 원시환 R나눗셈환 D 위의 자유 가군 V선형 변환\operatorname{End}_DV의 (적절한 위상에서의) 조밀 집합부분환 R\subseteq\operatorname{End}_DV이다. (제이컵슨 밀도 정리 영어: Jacobson density theorem)
  4. 모든 나눗셈환 D에 대하여, 그 중심 Z(D)를 이루며, D는 체 Z(D) 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

특별한 종류의 환들의 경우, (거의) 완전한 분류가 존재한다. 예를 들어, 많은 종류의 유한환은 완전히 분류되었고, 마찬가지로 아르틴 단순환 역시 완전히 분류되었다 (아르틴-웨더번 정리 영어: Artin–Wedderburn theorem).

[편집]

  • 정수의 집합 \mathbb Z에 (표준적인) 덧셈과 곱셈을 부여하면, 가환환을 이룬다.
  • 모든 는 환을 이룬다. 예를 들어, 유리수의 집합 \mathbb Q, 실수의 집합 \mathbb R, 복소수의 집합 \mathbb C는 체이며 따라서 환을 이룬다.
  • n이 양의 정수일 때, 몫환 \mathbb Z/n\mathbb Z는 환을 이룬다. 이 몫환합동 산술의 기초를 이룬다.
  • 한원소 집합 \{0\}에, 연산 0+0=0\cdot0=0을 부여하면 환을 이룬다. 이를 자명환이라고 한다.
  • 위상 공간 X 위에 정의된 실수 연속 함수의 집합 \mathcal C(X,\mathbb R)가환환을 이룬다. 이때, 연산은 각 함수값의 덧셈과 곱셈이다. 즉, 함수 f(x)g(x) 의 합과 곱은 다음과 같은 값을 갖는 함수로 정의한다.
    f+g\colon x\mapsto f(x) + g(x)
    fg\colon x\mapsto  f(x) g(x)
  • 어떤 환 R이 주어졌을 때, 다항식환 R[x_1,x_2,\cdots,x_n]은 환을 이룬다. 만약 R가 가환환이라면 다항식환 역시 가환환이다.
  • R자연수 n이 주어졌을 때, R의 원소들의 n\times n 정사각행렬의 집합 \operatorname{Mat}(R;n)은 행렬의 덧셈과 곱셈에 대하여 환을 이루며, 이를 행렬환이라고 한다. 일반적으로 이는 가환환이 아니다.
  • 불 대수 (B,\land,\lor) (예를 들어, 어떤 집합멱집합)는 다음과 같이 가환환의 구조를 줄 수 있다.
a+b=(a\lor b)\land\not(a\land b)
ab=a\land b

역사[편집]

환의 연구는 다항식환수체대수적 정수의 이론으로부터 출발했다. 환의 개념은 리하르트 데데킨트가 도입했으며, 1897년에 다비트 힐베르트가 처음으로 환(독일어: Zahlring)이라는 용어를 사용하였다.[2]

아브라함 프렝켈은 1914년 논문[3]에서 처음으로 환을 엄밀히 정의했으며, 에미 뇌터는 1921년의 논문[4]에서 가환환의 이론을 공리적으로 전개하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsi-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 
  2. 〈Die Theorie der algebraischen Zahlkörper〉, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897
  3. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Vol. 145, 1914
  4. Noether, Emmy (1921). “Idealtheorie in Ringbereichen” (독일어). 《Mathematische Annalen》 83 (1–2): 24–66. doi:10.1007/BF01464225. ISSN 0025-5831. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]