비가환 기하학

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수학에서, 비가환 기하학(非可換幾何學, 영어: noncommutative geometry, NCG)는 비가환 C* 대수를 마치 어떤 기하학적 구조 위에 존재하는 함수대수처럼 간주하여 기하학적으로 다루는 분야다.

개론[편집]

겔판트 표현 정리(영어: Gelfand representation theorem)에 따라, 모든 가환 C* 대수는 어떤 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 함수대수와 동형이다. 즉, (국소 콤팩트 하우스도르프) 위상공간을 연구하는 것은 그 위에 존재하는 함수대수를 연구하는 것과 같으며, 위상공간의 여러 성질들을 그 함수대수의 성질로 나타낼 수 있다. 물론, 이러한 함수대수들은 모두 가환대수다.

이 위상공간/C* 대수 이중성을 비가환 C* 대수에 대하여 확장하려 한다고 하자. 즉, 비가환 C* 대수를 어떤 (실재하지 않는 가상의) "위상공간" 위에 존재하는 함수대수로 간주하여, 기하학적인 기법으로 연구할 수 있다. 즉, 비가환 C* 대수는 "비가환 위상공간" 위의 함수대수다. 예를 들어, 비가환 원환면이라고 불리는 비가환 C* 대수는 마치 원환면 위의 함수대수와 여러가지 유사한 성질을 지녀, "비가환" 원환면 위의 함수대수로 생각할 수 있다. 마찬가지로, 퍼지 구는 일반 를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

리만 다양체의 구조는 함수 대수에 스피너에 대한 미분 연산자 (디랙 연산자)를 추가한, 소위 스펙트럼 삼중(영어: spectral triple)로 나타내어진다. 이는 알랭 콘이 증명하였다. 따라서, 비가환 스펙트럼 삼중은 비가환 리만 다양체 위의 함수대수로 간주할 수 있다.

개념 및 도구[편집]

비가환 공간 위에는 가환공간과 유사하게 호흐실트 호몰로지(Hochschild homology)나 순환 호몰로지(cyclic homology)와 같은 호몰로지 및 연산자 K이론을 통한 K이론을 정의할 수 있다. 또한, 비가환 대수기하학도 존재한다.[1][2][3][4]

물리학에서의 비가환성[편집]

비가환 기하학은 양자장론끈 이론에서 널리 쓰인다.[5][6][7][8][9]

비가환 기하학과 쌍극자[편집]

공간 좌표의 비가환성은 대략 균일한 자기장 속에 존재하는 전기 쌍극자처럼 생각할 수 있다.[10][11]

xy 평면에서, 균일한 자기장 B\hat{\mathbf z}를 생각하자. 이 속에, 전하가 \pm q이고 질량이 m인 두 입자가 존재하고, 이들 사이에 조화 진동자 퍼텐셜

V(\Vert\mathbf x_1-\mathbf x_2\Vert)=\frac12k(\mathbf x_1-\mathbf x_2)^2

이 존재하여 이 두 입자가 전기 쌍극자로 묶여 있다고 하자. 이 경우, 라그랑지언 L은 다음과 같다.

L=\frac12m(\dot{\mathbf x}_1^2+\dot{\mathbf x}_2^2)+\frac12qB\epsilon_{ij}(\dot x_1^ix_1-\dot x_2^ix_2^j)-\frac12k(\mathbf x_1-\mathbf x_2)^2

이제, 쌍극자 질량 중심의 위치

\mathbf X=(\mathbf x_1+\mathbf x_2)/2

와 쌍극자의 크기

\boldsymbol{\Delta}=(\mathbf x_1-\mathbf x_2)/2

를 정의하자. 이 변수로 쓰면, 라그랑지언은 다음과 같다.

L=2m\dot{\mathbf X}\cdot\dot{\boldsymbol{\Delta}}+qB\epsilon_{ij}\dot X^i\Delta^j-2k\Delta^2

라그랑지언으로부터, 쌍극자 질량 중심 \mathbf X에 대응하는 일반화 운동량 \mathbf P는 다음과 같다.

P_i=\frac{\delta L}{\delta\dot X^i}=2m\dot\Delta^i+qB\epsilon_{ij}\Delta^j

따라서, 이 양자화하려면 다음과 같은 정준 교환 관계

[X^i,P_j]=i\hbar\delta^i_j

를 가한다.

이제, 입자들의 질량 m이 매우 작아 무시할 수 있다고 하자. 그렇다면

P_i=qB\epsilon_{ij}\Delta^j

이다. 즉, 쌍극자의 크기는 그 운동량과 비례한다. 따라서

[X^i,\Delta^j]=i\hbar\epsilon^{ij}/(qB)

이다. 다시 원래 변수 \mathbf x_1=\mathbf X+\boldsymbol{\Delta}, \mathbf x_2=\mathbf X-\boldsymbol{\Delta}로 바꾸면

[x_1^i,x_2^j]=-2i\hbar\epsilon^{ij}/qB

기 된다. 따라서, 자기 쌍극자의 양끝의 좌표가 가환하지 않는 것을 알 수 있다.

이에 따라서, 비가환 평면에 존재하는, 운동량 \mathbf p를 가진 평면파 \exp(i\mathbf p\cdot\mathbf x)는 크기가 그 운동량에 비례하는 쌍극자로 간주할 수 있다.[5]:§II.B.2

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Ginzburg, Victor (2005년). Lectures on Noncommutative Geometry. arXiv:math/0506603. Bibcode2005math......6603G.
  2. (영어) Stafford, J. T., M. Van den Bergh (1999년). Noncommutative curves and noncommutative surfaces. arXiv:math/9910082. Bibcode1999math.....10082S.
  3. (영어) Marcolli, Matilde (2004년). Lectures on Arithmetic Noncommutative Geometry. arXiv:math/0409520. Bibcode2004math......9520M.
  4. (영어) Mahanta, Snigdhayan (2005년). On some approaches towards non-commutative algebraic geometry. arXiv:math/0501166. Bibcode2005math......1166M.
  5. (영어) Douglas, Michael R., Nikita A. Nekrasov (2001년 11월 29일). Noncommutative Field Theory. 《Reviews of Modern Physics》 73 (4): 977–1029. arXiv:hep-th/0106048. doi:10.1103/RevModPhys.73.977. Bibcode2001RvMP...73..977D. ISSN 0034-6861.
  6. (영어) . arXiv:0909.1000. doi:10.1007/s10701-009-9349-y. Bibcode2009FoPh...39.1297B.
  7. (영어) . arXiv:hep-th/0006012. doi:10.1088/0264-9381/17/17/302. Bibcode2000CQGra..17.3403B.
  8. (영어) . arXiv:1101.4579. doi:10.1088/1742-6596/287/1/012012. Bibcode2011JPhCS.287a2012R.
  9. (영어) Douglas, Michael R. (1999년). Two Lectures on D-Geometry and Noncommutative Geometry. arXiv:hep-th/9901146. Bibcode1999hep.th....1146D.
  10. Bigatti, Daniela, Leonard Susskind. . arXiv:hep-th/9908056.
  11. . arXiv:hep-th/9901080.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]