유한체

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추상대수학에서, 유한체(有限體, finite field)는 유한개의 원소를 가지는 이다. 갈루아 체(영어: Galois field)라고도 한다.

정의[편집]

유한체는 원소의 개수가 유한개인 이다. 유한개의 원소의 개수는 항상 소수거듭제곱이다. 즉,p^n의 꼴이다. 여기서 p소수이고, n은 양의 정수이다. 반대로, 같은 수의 원소들을 가진 유한체는 서로 동형이다. p^n개의 원소를 가진 유한체를 \mathbb F_{p^n} 또는 \operatorname{GF}(p^n)이라고 쓴다.

차수가 p^n (n은 양의 정수, p소수)인 유한체 \mathbb F_{p^n}는 구체적으로 다음과 같이 정의할 수 있다. 이 소수를 체의 표수라고 한다.

우선, \mathbb F_p는 덧셈에 대한 아벨 군으로서 단순히 순환군 \mathbb Z/p이다. 곱셈은 일반적인 정수의 곱셈의 p-합동류이다.

\mathbb F_{p^n}은 다음과 같이 정의할 수 있다. f(t)\in\mathbb F_p[t]\mathbb F_p 계수를 가진 n기약 일계수 다항식이라고 하자. 그렇다면 가환환으로서

\mathbb F_{p^n}\cong\mathbb F_{p^n}[t]/(f(t))

이다. 여기서 (f(t))f(t)로부터 생성되는 아이디얼이다. 서로 다른 기약 일계수 다항식을 사용하더라도 얻는 유한체는 서로 동형이다.

성질[편집]

유한체는 순서체가 될 수 없다. \mathbb F_{p^n}에서는

\overbrace{1+1+\dots 1}^p=0

이므로, 순서체가 만족해야 하는 부등식

0<1<1+1<\cdots

을 만족시킬 수 없다.

프로베니우스 자기동형사상[편집]

유한체 \mathbb F_{p^n}은 다음과 같은 꼴의 n개의 자기동형사상 f_k\colon\mathbb F_{p^n}\to\mathbb F_{p^n}을 가진다. 이를 프로베니우스 자기동형사상(영어: Frobenius autormorphism)이라고 한다. 이는 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 딴 것이다.

f_k\colon x\mapsto x^{p^k}
k=0,1,2,\dots,n-1

물론 f_n=f_0이 된다.

따라서, 유한체 \mathbb F_{p^n}자기동형군순환군 \mathbb Z/n이다.

포함 관계[편집]

만약 m|n이라면, 자연스러운 포함 관계

\mathbb F_{p^m}\hookrightarrow\mathbb F_{p^n}

가 존재한다. 이에 따라 표수 p의 모든 유한체들에 대한 귀납적 극한을 취할 수 있다.

\varinjlim_n\mathbb F_{p^n}=\bar{\mathbb F}_p

이렇게 얻은 체 \bar{\mathbb F}_p는 임의의 n에 대하여 \mathbb F_{p^n}대수적 폐포이다.

\bar{\mathbb F}_p=\bar{\mathbb F}_{p^n}

이러한 포함 관계는 프로베니우스 자기동형사상과 교환한다. 따라서 \bar{\mathbb F}_p에도 프로베니우스 자기동형사상이 존재한다. 이 경우 자기동형군은 정수의 환 \mathbb Z사유한 완비

\operatorname{Aut}(\bar{\mathbb F}_p)=\hat{\mathbb Z}=\varinjlim_n\mathbb Z/n

이다. 이는 자연스럽게 사유한군의 구조를 가진다.

곱셈 구조[편집]

유한체의 (0을 뺀) 곱셈군 \mathbb F_{p^n}^\times=\mathbb F_{p^n}\setminus\{0\}은 항상 순환군이다.

\mathbb F_{p^n}^\times\cong\mathbb Z/(p^n-1)\mathbb Z

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비교적 작은 유한체의 구조는 다음과 같다.

F2[편집]

+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1

F3[편집]

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

F4[편집]

이 경우 기약 일계수 다항식 t^2+t+1\in\mathbb F_2[t]를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

\mathbb F_4\cong\mathbb F_2[t]/(t^2+t+1)

아래 표에서는 A=t, B=t+1로 표기한다.

+ 0 1 A B
0 0 1 A B
1 1 0 B A
A A B 0 1
B B A 1 0
× 0 1 A B
0 0 0 0 0
1 0 1 A B
A 0 A B 1
B 0 B 1 A

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]