아이디얼

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

환론에서, 아이디얼(영어: ideal)은 특정한 조건을 만족시키는 부분집합이다. 이에 대하여 몫환을 취할 수 있으며, 군론에서 정규부분군에 대하여 몫군을 취하는 것과 유사한 개념이다.

아이디얼을 사용하여 수론적 개념을 보다 일반적인 들에 대하여 확장시킬 수 있다. 예를 들어, 소수의 개념을 확장한 소 아이디얼서로소인 수의 개념을 확장한 서로소 아이디얼을 정의하면, 일반화된 중국인의 나머지 정리를 증명할 수 있다. 수론에서 중요한 개념인 데데킨트 정역의 경우, 아이디얼에 대해 산술의 기본정리까지도 성립함을 보일 수 있다. (즉, 임의의 0이 아닌 아이디얼은 소 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.)

정의[편집]

(R,+,\cdot)유사환이고, \mathfrak a\subset RR의 (덧셈 아벨 군으로서의) 부분군이라고 하자.

  • 만약 R\mathfrak a\subseteq\mathfrak a일 경우, \mathfrak a가 R의 좌 아이디얼(左ideal, 영어: left ideal)이라고 한다.
  • 만약 \mathfrak aR\subseteq\mathfrak a일 경우, \mathfrak a가 R의 우 아이디얼(右ideal, 영어: right ideal)이라고 한다.
  • 만약 \mathfrak aR의 좌 아이디얼 및 우 아이디얼일 경우, \mathfrak aR양쪽 아이디얼(兩쪽ideal, 영어: two-sided ideal) 또는 단순히 아이디얼이라고 한다.

즉, 좌·우·양쪽 아이디얼의 원소는 각각 좌측·우측·양쪽에 곱셈을 해도 여전히 그 좌·우·양쪽 아이디얼을 벗어나지 않는다.

R의 좌아이디얼은 반대환(opposite ring) R^{\text{op}}의 우아이디얼과 일치하며, 이는 반대로도 성립한다.

정의에 따라, 아이디얼은 유사환 R의 부분 유사환을 이룬다. 만약 R(곱셈 항등원을 갖춘 유사환)이라도, 일반적으로 R의 아이디얼은 곱셈 항등원을 갖추지 않으므로 유사환만을 이룬다. 환 R의 곱셈 항등원을 포함하는, 즉 부분환을 이루는 아이디얼은 R 전체밖에 없다.

아이디얼의 연산[편집]

유사환 R의 두 (좌·우·양쪽) 아이디얼 \mathfrak a, \mathfrak b가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이들로부터 다음과 같은 아이디얼의 교집합을 정의할 수 있으며, 이는 또다른 (좌·우·양쪽) 아이디얼을 이룬다.

\mathfrak a+\mathfrak b=\{a+b\colon r\in\mathfrak a,\;s\in\mathfrak b\}
\mathfrak a\mathfrak b=\{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\colon a_1,\dots,a_n\in\mathfrak a;\;b_1,\dots,b_n\in\mathfrak b\;n=0,1,2,\dots\}
\mathfrak a\cap\mathfrak b=\{r\colon r\in\mathfrak a,\;r\in\mathfrak b\}

다만, 아이디얼의 합집합은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.

일반적으로, (좌·우·양쪽) 아이디얼 \mathfrak a, \mathfrak b에 대하여 다음이 성립한다.

\mathfrak a\cup\mathfrak b\subseteq\mathfrak a+\mathfrak b

또한, 만약 \mathfrak a\mathfrak b가 양쪽 아이디얼이라면 다음이 성립한다.

\mathfrak a\mathfrak b\subseteq\mathfrak a\cap\mathfrak b\subseteq\mathfrak a\cup\mathfrak b\subseteq\mathfrak a+\mathfrak b

(좌·우·양쪽) 아이디얼의 덧셈과 곱셈은 각각 결합법칙·교환법칙·분배법칙을 따르므로, (좌·우·양쪽) 아이디얼들의 집합은 반환(semiring)을 이룬다.

아이디얼의 종류[편집]

특정한 성질을 가진 아이디얼의 종류로는 다음을 들 수 있다.

성질[편집]

  • 아이디얼이 환 전체가 아닐 필요충분조건은 1을 포함하지 않는다는 것이다.
  • 진 아이디얼들은 부분집합 포함관계에 따라 부분 순서가 주어지며, 여기에 초른의 보조정리를 적용하면 모든 진 아이디얼이 극대 아이디얼에 포함되어 있음을 보일 수 있다.
  • 모든 아이디얼은 0을 포함하며, 따라서 공집합이 아니다.
  • 정수환 \mathbb Z의 아이디얼은 어떤 정수 a에 의해 생성되는 주 아이디얼뿐이다. 즉, 정수환은 주 아이디얼 정역이다. 이 성질의 따름정리는 다름 아닌 나눗셈 정리이다.
  • 환 R는 자기 자신 상의 좌 가군으로 볼 수 있으며, 이때 R의 좌 아이디얼들은 R의 부분가군이다. 마찬가지로 R의 우 아이디얼들은 R를 우가군으로 본 것의 부분가군이며, 양쪽 아이디얼들은 R을 양쪽 가군(영어: bimodule)으로 본 것의 부분가군이다. R가 가환환이라면 이 세 가지 경우가 일치한다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]