가역원

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환론에서, 가역원(可逆元, 영어: invertible element 또는 unit 유닛[*])은 에서 곱셈에 대한 역원이 있는 원소들이다.

정의[편집]

어떤 (단위원을 갖춘) 환 R가역원군(영어: group of invertible elements, group of units) R^\times

R^\times=\{r\in R\colon\exists s\in R\colon rs=sr=1\}

이다. 이는 곱셈에 대하여 을 이룬다. 환 R가역원은 그 가역원군의 원소이다.

성질[편집]

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  • \mathbb Z^\times=\{\pm1\}이다.
  • 나눗셈환의 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이다. 예를 들어, \mathbb Q^\times=\mathbb Q\setminus\{0\}이다.
  • K에 대한 행렬환 \operatorname{Mat}(n;K)의 가역원군은 일반선형군 \operatorname{Mat}(n;K)^\times=\operatorname{GL}(n;K)이다. 이는 가역행렬로 구성된 군이다.