콜모고로프 공간

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위상 공간의 분리 공리
T0 콜모고로프 공간
T1  
T2 하우스도르프 공간
T 우리손 공간
완전 T 완비 하우스도르프 공간
T3 정칙 하우스도르프 공간
T 티호노프 공간
T4 정규 하우스도르프 공간
T5 완비 정규 하우스도르프 공간
T6 완전 정규 하우스도르프 공간

일반위상수학에서, 콜모고로프 공간(Колмогоров空間, 영어: Kolmogorov space) 또는 T0 공간(영어: T0-space)은 서로 다른 두 점을 열린 집합으로 구별할 수 있는 위상 공간이다. 가장 약한 형태의 분리공리를 만족시킨다.

정의[편집]

위상 공간 X의 두 점 x,y\in X에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다면 두 점이 위상수학적으로 구분 불가능(영어: topologically indistinguishable)하다고 한다.

이는 위상 공간 위의 동치 관계를 이룬다.

콜모고로프 공간은 위상수학적으로 구분 불가능한 두 점이 항상 같은 점인 공간이다.

위상 공간 X 위에, 위상수학적 구분 불가능성에 대한 몫공간 X/\sim을 취할 수 있다. 이를 X콜모고로프 몫공간(영어: Kolmogorov quotient)이라고 하며, 이는 항상 콜모고로프 공간이다. 범주론적으로, 콜모고로프 공간들의 범주 \operatorname{Kolm}는 모든 위상 공간들의 범주 \operatorname{Top}반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자 I\colon\operatorname{Kolm}\to\operatorname{Top}의 왼쪽 수반 함자

Q\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Kolm}
Q\dashv I

가 존재하며, Q는 주어진 위상 공간을 그 콜모고로프 몫공간에 대응시킨다.

성질[편집]

모든 T1 공간은 콜모고로프 공간이다. 모든 차분한 공간은 콜모고로프 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

위상 공간 ⊋ 콜모고로프 공간 ⊋ T1 공간차분한 공간

콜모고로프 공간의 부분 공간은 항상 콜모고로프 공간이다. 그러나 콜모고로프 공간의 몫공간은 콜모고로프 공간이 아닐 수 있다.

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콜모고로프 공간이 아닌 위상 공간[편집]

두 개 이상의 원소를 갖는 비이산 공간은 콜모고로프 공간이 아니며, 이 경우 콜모고로프 몫공간은 한원소 공간이다.

실수선 위의 제곱 적분 가능 실수값 함수들의 집합 \mathcal L^2(\mathbb R;\mathbb R)반노름

\|f\|=\int_{\mathbb R}|f|^2\,dx

을 주자. 이는 콜모고로프 공간이 아니다. 예를 들어, 영집합 N 위의 표시 함수 \chi_N의 경우

\|\chi_N\|=0

이므로, 서로 구분할 수 없다. 이 경우 콜모고로프 몫공간은 힐베르트 공간 L^2(\mathbb R;\mathbb R)이다.

T1 공간이 아닌 콜모고로프 공간[편집]

T1 공간이 아닌 콜모고로프 공간의 가장 간단한 예는 시에르핀스키 공간이다. 보다 일반적으로, 가환환스펙트럼은 일반적으로 T1공간이 아니지만, 항상 콜모고로프 공간이자 차분한 공간이다.

참고 문헌[편집]

  • Boto von Querenburg, Mengentheoretische Topologie, 3. Auflage, Springer-Verlag, ISBN 3-540-67790-9

바깥 고리[편집]