부분집합

A는 B의 부분집합이다.

부분집합(部分集合)은 어떤 집합의 일부분이 되는 집합을 말한다. 즉, 어떤 집합 A의 원소가 다른 집합 B에 모두 포함될 경우 집합 A는 집합 B의 부분집합이 된다.

정의

집합 A, B가 있을 때

x ∈ A ⇒ x ∈ B

의 관계가 항상 성립하는 경우 집합 A는 B의 부분집합이라고 한다. 기호로는 $A \subset B$ 또는 $A \subseteq B$로 나타낸다.

A = B인 경우에도 A는 B의 부분집합이 된다. A와 B가 같지 않은 경우, 즉 $A \subset B$이고 $A \ne B$인 경우에 A는 B의 진부분집합이라고 한다. 기호로는 $A \subsetneq B$로 나타낸다.

예

A = {4,10}

B = {1,4,7,10,13}

이 경우 $A \subset B$ 이다. 나아가 A ≠ B 이기 때문에, $A \subsetneq B$ 라고 할 수 있다.

성질

다음에서 A,B,C는 집합, S는 전체집합이다.

• 공집합 Ø은 모든 집합의 부분집합이다.
• A ⊆ A
• A ⊆ B 이고 B ⊆ A 이면, A = B이며, 또한 역도 참이다.
• A ⊆ B 이고 B ⊆ C 이면, A ⊆ C이다.
• A ⊆ S
• A ⊆ (A ∪ B)
• A ⊆ C 이고 B ⊆ C 이면, (A ∪ B) ⊆ C
• A ∩ B ⊆ A
• C ⊆ A 이고 C ⊆ B 이면, C ⊆ (A ∩ B)
• 다음은 동치이다.
  • A ⊆ B
  • A ∩ B = A
  • A ∪ B = B
  • A − B = Ø
  • B의 여집합 ⊆ A의 여집합

진부분집합

• 두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A \subseteq B$이고, $A \neq B$이면 $A$를 $B$의 진부분집합이라 한다. 바꿔 말하면, 부분집합 중 자기 자신의 원소를 적어도 하나 이상을 갖지 않는 집합을 진부분집합이라고 한다.