대각선 논법

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집합론에서, 대각선 논법(對角線論法, 영어: diagonal argument)은 실수비가산 집합임을 보이는 수학적 증명이다. 게오르크 칸토어가 고안하였다.

자연수와 실수의 크기[편집]

자연수의 집합 \mathbb N과 실수의 구간 (0,1] 사이에는 전단사 함수가 존재하지 않으며, 이는 대각선 논법으로 증명할 수 있다. 칸토어는 이 정리를 1874년 구간 축소법을 이용하여 증명하였으나, 1891년에 대각선 논법을 사용하여 재증명하였다. 대각선 논법을 이용한 증명은 이전의 증명보다 더 간단하고 직관적이다.

증명[편집]

임의의 함수

f\colon\mathbb N\to(0,1]

가 존재한다고 하자. 구간 (0, 1] 에 포함되는 실수는 소수로 표기할 수 있다. 다만,

0.1

과 같은 유한 소수는

0.09999...

로 쓰도록 해서 실수 하나에는 하나의 소수 표현만이 대응하도록 한다. 이렇게 표기하였을 때, f의 값들이 다음과 같다고 하자.


\begin{matrix}
f(0)&=&0.\mathbf{a}_{00}a_{01}a_{02}a_{03}\cdots\\
f(1)&=&0.a_{10}\mathbf{a}_{11}a_{12}a_{13}\cdots\\
f(2)&=&0.a_{20}a_{21}\mathbf{a}_{22}a_{23}\cdots\\
 \vdots & & \vdots
\end{matrix}

그렇다면 다음과 같은 실수 r를 생각하자.

r=0.b_0 b_1 b_2 b_3 \cdots\in(0,1]

여기서 b_i는 다음과 같다.

b_i = \begin{cases} 1 & a_{ii} \ne 1 \\ 2 & a_{ii} = 1 \end{cases}

그렇다면 임의의 n\in\mathbb N에 대하여 rf(n)과 소수점 뒤 n+1째 자리에서 다르다. 즉, rf에 포함되지 않으며, f전사 함수가 아니다. 즉, 전사 함수 \mathbb N\to(0,1]은 존재하지 않으며, 모든 전단사 함수는 전사 함수이므로 이 역시 존재하지 않는다.

여기에서 "대각선"은 식에서 굵은 글씨로 처리된 \mathbf{a_{00}, a_{11}, a_{22},} \cdots 등으로, n 번째 소수의 소수 제n+1 자리를 차례차례에 더듬고 간 부분에 해당한다. 실수 전체와 (0, 1] 과의 사이에 전단사 관계는 쉽게 증명할 수 있으며, 따라서 실수의 집합은 가산 집합이 아니다.

칸토어의 정리[편집]

칸토어의 정리(1890년)에 따르면, 임의의 집합 X 과 그 멱집합 \mathcal P(X) 사이에는 전단사 함수가 존재하지 않는다. 이 역시 대각선 논법을 이용해 증명할 수 있다. 이 증명에서는 각각의 집합 \psi(x)에 대해서 x 를 포함할지로 항상 다른 집합 A를 만들어 내는 점이 대각선을 이용하고 있다.

실수의 집합은 자연수의 멱집합과 크기가 동일하기 때문에, 최초의 정리는 두 번째 정리의 특별한 경우가 된다.이 정리에 의해, 멱집합의 크기가 원래의 집합보다 커지는 것은 알 수 있지만, 그럼 그 사이에 다른 크기는 존재하는가 하는 문제를 생각할 수도 있고 이것은 연속체 가설로 불리고 있다.

만약 모든 집합의 집합 V가 존재한다면, \mathcal P(V)X의 부분 집합이면서도 X보다 크기가 커져 모순을 일으킨다. 이를 칸토어 역설이라고 한다. 따라서, 공리적 집합론에서는 모든 집합을 포함한 집합이 존재하지 않는다. 대신 모든 집합의 고유 모임은 존재하며, 폰 노이만 전체라고 불린다.

증명[편집]

임의의 집합 X에 대하여, 함수

f\colon X \to\mathcal P(X)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면

A=\{x\in X\colon x\not\in f(x)\}\subset X

를 정의하자. 그렇다면 다음 두 명제를 쉽게 보일 수 있다.

  • 임의의 a\in A에 대하여, A\ne f(a)이다.
    • 정의에 따라서 a\not\in f(a)이다. 그러나 a\in A이므로, A\ne f(a)이다.
  • 임의의 b\in X\setminus A에 대하여, A\ne f(b)이다.
    • 정의에 따라서 b\in f(b)이다. 그러나 이 경우 b\not\in A이므로, A\ne f(b)이다.

따라서 Af에 포함되지 않는다. 즉, f전사 함수가 아니다. 따라서, X\mathcal P(X) 사이에 전사 함수가 존재하지 않으며, 모든 전단사 함수는 전사 함수이므로 역시 존재하지 않는다.

위의 구성은 러셀의 역설에서 이용되는 자기 자신을 포함하지 않는 집합 \{S\colon S\not\in S\}과 유사하다.

같이 보기[편집]