하르톡스 수

집합론에서 하르톡스 수(Hartogs數, 영어: Hartogs number)는 주어진 집합의 어떤 부분 집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다.^:63

정의

집합 $X$의 하르톡스 수 $\operatorname {h} (X)$는 $X$의 어떤 부분집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다. 즉, 단사 함수 $\alpha \to X$가 존재하지 않는 최소의 순서수 $\alpha$이다.

하르톡스 정리(Hartogs定理, 영어: Hartogs’ theorem)에 따르면, 모든 집합은 하르톡스 수를 갖는다. 이 정리는 선택 공리를 사용하지 않고, 체르멜로-프렝켈 집합론에서 증명할 수 있다.

증명:

임의의 집합 $X$가 주어졌을 때, $X$의 부분 집합 위에 정의된 정렬 집합들의 모임

$W=\{(Y,\leq )\colon Y\subseteq X,\;{\leq }\in \operatorname {WellOrder} (Y)\}$

를 생각하자. $W\subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X\times X)$이므로 이 모임은 집합이다. 순서수 $\beta$의 크기가 $|X|$ 이하일 필요충분조건은 어떤 $(Y,\leq )\in W$와 순서 동형인 것이다. 따라서, 모임

$\alpha =\{\beta \in \operatorname {Ord} \colon |\beta |\leq |X|\}$

역시 집합이다. 이제, $\alpha$가 $X$의 하르톡스 수임을 다음과 같이 증명할 수 있다.

• $\alpha$는 순서수
  • $\alpha \subseteq \operatorname {Ord}$이므로, $\alpha$가 추이적 집합임을 보이면 충분하다. 만약 $\beta \in \alpha$이며 $\gamma \in \beta$라면, 단사 함수 $f\colon \beta \to X$가 존재하는데, 이를 $\gamma$로 제한하면 단사 함수 $f\upharpoonright \gamma \colon \gamma \to X$를 얻는다. 따라서 $\gamma \in \alpha$이다.
• $|\alpha |>|X|$
  • 순서수의 정의에 따라, (또는 ZF의 정칙성 공리에 따라,) $\alpha \not \in \alpha$이다. 즉, $|\alpha |\leq |X|$일 수 없다.
• $\alpha$의 최소성
  • $\alpha$의 정의에 따라, $\alpha$보다 작은 순서수들의 크기는 $|X|$ 이하이다. 즉, $X$의 어떤 부분 집합의 크기와 같다.

성질

하르톡스 수는 기수이다.^:63 즉, 임의의 순서수 $\alpha <\operatorname {h} (X)$에 대하여, $\alpha$와 $\operatorname {h} (X)$의 크기는 서로 다르다.

예

자연수 $n$에 대하여, $\operatorname {h} (n)=n+1$이다.^:63

역사

독일의 수학자 프리드리히 하르톡스가 증명하였다.

외부 링크

• “Hartogs number”. 《nLab》 (영어). 
• “Hartogs number”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Hartogs number”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Existence of Hartogs number”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Hartogs' lemma (set theory)”. 《ProofWiki》 (영어).