하르톡스 수

하르톡스 수(독일어: Hartogs-Zahl, Hartogs number, -數)는 집합론에서, 어떤 집합 A 가 주어졌을 때 이 집합의 어떤 부분집합과도 농도가 같지 않은 최소의 서수를 의미한다. A 에 대하여 h(A) 로 쓴다. 이 수가 임의의 집합에 대하여 존재한다는 정리가 ZF에서 증명되어 있다. 이름의 유래는 독일의 수학자 프리드리히 하르톡스(Friedrich Hartogs)이다.

하르톡스 수의 존재정리

하르톡스 수의 존재는 임의의 집합 A 에 대하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 이 정리를 집합론에 대한 하르톡스의 정리(독일어: Satz von Hartogs, -定理)라고 부르기도 한다.

1. Z = {(W, <)|W ⊆ A, < 는 W 에서의 정렬순서} 라고 할 때 이는 대치공리에 의해 집합이 된다. W ⊆ A, < ⊆ A×A 이므로 (W, <) ∈ PP(P(A) ∪ P(A×A)) 이기 때문이다.
2. Z의 원소 (W, <) 가 정렬집합이므로 유일한 서수 a 가 존재하여 (W, <) 와 a 가 순서동형이다. 대치공리에 의해 집합 B = {a|어떤 (W, <)∈Z 가 a 와 동형} 이 존재한다.
3. 이 집합도 서수가 되는데, b < a, a∈B 라고 하면 (W, <)∈Z 이고 순서동형사상 $g:W \rightarrow a$ 를 잡을 때 V = {x∈Z|g(x) < b} 가 b와 동형이 되므로 b∈B 이기 때문이다.
4. 여기서 적당한 서수 a에 대하여 B = a 라고 하면 B 가 A 의 부분집합과 농도가 같을 수 없다. W ⊆ A 이고 전단사인 함수 $f:W \rightarrow a$ 가 존재한다면 W에 순서를 정의할 때 (W, <) ∈ Z 가 되어 a ∈ B=a 가 되는데, ZF에서 자기 자신을 원소로 갖는 집합은 존재하지 않기 때문이다.

성질

하르톡스 수는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 어떤 자연수 n 에 대하여 분명히 h(n) = n+1 이 성립한다.
• 임의의 집합 A 에 대하여 이 하르톡스 수 h(A) 는 기수이다. 즉, 임의의 서수 a < h(A) 에 대하여 a 와 h(A) 는 농도가 같지 않다.

같이 보기

• 서수
• 따름서수

참고 문헌

• 최창선, 《집합론 입문》, 경문사, 2006.