바나흐-타르스키 역설

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공을 유한 개의 조각으로 잘라 공 두 개로 만들 수 있다.

바나흐-타르스키 역설은 3차원 상의 을 유한 개의 조각으로 잘라서 재조합하면 원래 공과 같은 부피를 갖는 공 두 개를 만들 수 있다는 정리이다. 스테판 바나흐알프레트 타르스키에 의해 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론엣 증명되었다. 이 때 공을 유한 개의 부분집합으로 분할할 때의 각 부분집합은 르베그 비가측 집합이다.

이 역설은 선택 공리가 없을 경우(체르멜로-프렝켈 집합론)나, 선택 공리 대신 의존적 선택 공리를 사용할 경우 성립하지 않는다.