공 (수학)

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공은 구의 내부이다.

(ball)이란 위상수학에서, 일종의 의 안쪽을 일컫는 말이다. 이러한 개념은 3차원 공간 뿐만 아니라 일반적인 고차원 공간이나 거리공간으로 확장할 수 있다.

정의[편집]

유클리드 공간[편집]

a를 유클리드 공간 Rn의 원소, r을 임의의 실수라 하자.

  • 중심이 a이고 반지름이 r인 열린 공(open ball) Br(a)를 다음과 같은 점들의 집합으로 정의한다.
B_r (\mathbf{a}) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| < r \}
  • 중심이 a이고 반지름이 r인 닫힌 공(closed ball) Br[a]를 다음과 같은 점들의 집합으로 정의한다.
B_r [\mathbf{a}] = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| \leqq r \}

거리공간[편집]

a를 거리가 ρ(x,y)로 기술되는 거리공간 X의 원소, r을 임의의 실수라 하자.

  • 중심이 a이고 반지름이 r인 열린 공(open ball) Br(a)를 다음과 같은 점들의 집합으로 정의한다.
B_r (\mathbf{a}) = \{ x \in X : \rho(x,a) < r \}
  • 중심이 a이고 반지름이 r인 닫힌 공(closed ball) Br[a]를 다음과 같은 점들의 집합으로 정의한다.
B_r [\mathbf{a}] = \{ x \in X : \rho(x,a)  \leqq r \}

참고문헌[편집]

  • William R. Wade (2003). 〈3.6 Topology of Rn〉, 《An Introduction to Analysis》, Third Edition, Pearson/Prentice Hall
  • William R. Wade (2003). 〈Chapter 10 Metric Spaces〉, 《An Introduction to Analysis》, Third Edition, Pearson/Prentice Hall

같이 보기[편집]