공 (수학)

위상수학에서, 공(ball)이란 일종의 구의 안쪽을 일컫는 말이다. 이러한 개념은 3차원 공간 뿐만 아니라 일반적인 고차원 공간이나 거리공간으로 확장할 수 있다.

정의

유클리드 공간

a를 유클리드 공간 Rⁿ의 원소, r을 임의의 실수라 하자.

• 중심이 a이고 반지름이 r인 열린 공(open ball) B_r(a)를 다음과 같은 점들의 집합으로 정의한다.

$B_r (\mathbf{a}) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| < r \}$

• 중심이 a이고 반지름이 r인 닫힌 공(closed ball) B_r[a]를 다음과 같은 점들의 집합으로 정의한다.

$B_r [\mathbf{a}] = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| \le r \}$

거리공간

a를 거리가 ρ(x,y)로 기술되는 거리공간 X의 원소, r을 임의의 실수라 하자.

• 중심이 a이고 반지름이 r인 열린 공(open ball) B_r(a)를 다음과 같은 점들의 집합으로 정의한다.

$B_r (\mathbf{a}) = \{ x \in X : \rho(x,a) < r \}$

• 중심이 a이고 반지름이 r인 닫힌 공(closed ball) B_r[a]를 다음과 같은 점들의 집합으로 정의한다.

$B_r [\mathbf{a}] = \{ x \in X : \rho(x,a) \le r \}$

참고문헌

• William R. Wade (2003). 〈3.6 Topology of Rⁿ〉, 《An Introduction to Analysis》, Third Edition, Pearson/Prentice Hall
• William R. Wade (2003). 〈Chapter 10 Metric Spaces〉, 《An Introduction to Analysis》, Third Edition, Pearson/Prentice Hall

같이 보기

• 구
• 초구