정상 집합

집합론에서 클럽 집합(club集合, 영어: club set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "거의 대부분"을 포함하는 집합이며, 정상 집합(定常集合, 영어: stationary set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "충분한 수"를 포함하여, 임의의 클럽 집합과 하나 이상의 원소를 공유하는 집합이다. 즉, 이 두 개념의 관계는 공집합이 아닌 열린집합과 조밀 집합의 관계와 같다.

정의

클럽 집합

극한 순서수 $\alpha$가 주어졌다고 하자. 부분 집합

$C\subseteq \alpha$

가 다음 두 조건을 만족시키면 $\alpha$-클럽 집합(영어: $\alpha$-club set)이라고 한다.

• 순서 위상에 대하여 닫힌집합이다. 즉, 임의의 순서수 $0<\beta <\alpha$에 대하여, $\sup(C\cap \beta )=\beta$라면, $\beta \in C$이다.
• $\textstyle \sup _{\operatorname {Ord} }C=\alpha$이다. 즉, 임의의 순서수 $\beta <\alpha$에 대하여, $\beta <\beta '\in C$가 존재한다.

정상 집합

임의의 기수 $\kappa$ 및 부분 집합 $S\subseteq \kappa$가 주어졌으며, $\kappa$의 공종도가 비가산이라고 하자.

만약 $S$와 임의의 $\kappa$-클럽 집합의 교집합이 공집합이 아니라면, $S$를 정상 집합이라고 한다.

성질

연산에 대한 닫힘

클럽 집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 기수 $\kappa$ 및 두 $\kappa$-클럽 집합 $C,C'\subseteq \kappa$가 주어졌을 때, $C\cap C'$ 역시 $\kappa$-클럽 집합이다. 즉, 클럽 집합들은 필터 기저를 이루며, 클럽 집합을 포함하는 집합들은 필터를 이룬다. 이를 $\kappa$의 클럽 필터(영어: club filter)라고 한다.

클럽 집합과 정상 집합의 교집합은 정상 집합이다. 즉, 기수 $\kappa$ 및 $\kappa$-정상 집합 $S\subseteq \kappa$와 $\kappa$-클럽 집합 $C\subseteq \kappa$가 주어졌을 때, $S\cap C$ 역시 정상 집합이다.

솔로베이 분할

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 정칙 비가산 기수 $\kappa$
• 정상 집합 $S\subseteq \kappa$

그렇다면, 솔로베이 정상 집합 분할 정리(Solovay定常集合分割定理, 영어: Solovay’s theorem on partitions of stationary sets)에 따르면, $S$는 $\kappa$개의 정상 집합들로 분할될 수 있다.

포도르 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 정칙 비가산 기수 $\kappa$
• 정상 집합 $S\subseteq \kappa$
• 함수 $f\colon S\to \kappa$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

• 임의의 $0<\alpha \in S$에 대하여, $f(\alpha )<\alpha$

포도르 정리(영어: Fodor’s theorem)에 따르면, $f|_{S'}=\alpha '$인 정상 부분 집합 $S'\subseteq S$와 순서수 $\alpha '<\kappa$가 존재한다.^{:Theorem 1.5}

말로 기수

$\kappa$-정상 집합들의 모임을 ${\mathfrak {S}}_{\kappa }$로 표기하자.

기수의 모임 $\operatorname {Card}$의 부분 모임 $P\subseteq \operatorname {Card}$에 대하여, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

$\kappa \in \operatorname {Mahlo} (P)\iff (\kappa \in P)\land (\kappa \cap P\in {\mathfrak {S}}_{\kappa })\land \operatorname {cf} (\kappa )>\omega$

이를 말로 연산(Mahlo演算, 영어: Mahlo operation)이라고 한다.^:18

기수 $\kappa$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 말로 기수(Mahlo基數, 영어: Mahlo cardinal)라고 한다.

• 만약 $P$가 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, $\kappa \in \operatorname {Mahlo} (P)$이다.^:21
• 임의의 $R\subseteq V_{\kappa }$에 대하여, $\langle V_{\alpha },\in ,R\cap V_{\alpha }\rangle \prec \langle V_{\kappa },\in ,R\rangle$가 되는 도달 불가능한 기수 $\alpha <\kappa$가 존재한다.^{:57, Proposition 6.2(b)}

여기서 $V_{\alpha }$는 폰 노이만 전체의 단계이며, $\langle V_{\kappa },\in ,R\rangle$는 이항 연산 $\in$과 상수 기호 $R$를 갖춘 구조이며, $\prec$는 기본 매장의 존재를 의미한다.

마찬가지로, 만약 $P$가 약하게 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, $\operatorname {Mahlo} (P)$의 원소를 약한 말로 기수(弱-Mahlo基數, 영어: weakly Mahlo cardinal)라고 한다.^:17 일반화 연속체 가설을 가정한다면 약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 도달 불가능한 기수의 개념과 일치하므로,^:18 마찬가지로 약한 말로 기수의 개념은 말로 기수의 개념과 일치한다.

말로 연산은 다음과 같이 초한 귀납법으로 반복할 수 있다.

$\operatorname {Mahlo} ^{\alpha }(P)={\begin{cases}\operatorname {Mahlo} (\operatorname {Mahlo} ^{\beta }(P))&\beta +1=\alpha \\P\cap \bigcap _{\beta <\alpha }\operatorname {Mahlo} ^{\beta }(P)&\nexists \beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}$

이를 사용하여, $\alpha$-말로 기수의 개념을 정의할 수 있다. 즉, 0-말로 기수는 도달 불가능한 기수이며, 1-말로 기수는 말로 기수이다.

말로 기수는 큰 기수의 일종이다. 즉, 말로 기수의 존재 또는 부재는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리(ZFC)로부터 증명할 수 없다. (이는 물론 ZFC가 무모순적이라는 것을 전제로 한다.)

기수에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. (즉, 이는 무모순성 관계보다 더 강하다.)

도달 불가능한 기수 ⇐ 말로 기수 ⇐ 약콤팩트 기수 ⇐ 강콤팩트 기수

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^:§9

$\operatorname {Inaccble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Inaccble} )\supseteq \operatorname {Measble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Measble} )\supseteq \operatorname {Supercomp} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Supercomp} )\supseteq \operatorname {Extble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Extble} )\supseteq \operatorname {Superhuge}$

여기서

• $\operatorname {Inaccble}$: 도달 불가능한 기수의 모임
• $\operatorname {Measble}$: 가측 기수의 모임
• $\operatorname {Supercomp}$: 초콤팩트 기수의 모임
• $\operatorname {Extble}$: 확장 가능 기수(영어: extendible cardinal)의 모임
• $\operatorname {Superhuge}$: 초거대 기수(영어: superhuge cardinal)의 모임

다이아몬드 원리

기수 $\kappa$ 및 $\kappa$-정상 집합 $S\subseteq \kappa$에 대하여, $(\kappa ,S)$-다이아몬드 집합렬(영어: $(\kappa ,S)$-diamond sequence) $A\colon S\to {\mathcal {P}}(\kappa )$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 $\alpha \in S$에 대하여, $A_{\alpha }\subseteq \alpha$
• 임의의 $T\subseteq \kappa$에 대하여, $\{\alpha \in S\colon T\cap \alpha =A_{\alpha }\}$는 $\kappa$-정상 집합이다.

$(\kappa ,S)$-다이아몬드 원리($(\kappa ,S)$-diamond原理, 영어: $(\kappa ,S)$-diamond principle) $\diamondsuit _{\kappa }(S)$는 $(\kappa ,S)$-다이아몬드 집합렬이 존재한다는 명제이다.

$\diamondsuit _{\omega _{1}}(\omega _{1})$은 흔히 다이아몬드 원리 $\diamondsuit$라고 표기한다.

구성 가능성 공리는 다이아몬드 원리를 함의하며, 다이아몬드 원리는 수슬린 가설의 부정 및 연속체 가설을 함의한다.

$V=L\implies \diamondsuit \implies (\lnot {\mathsf {SH}}\land {\mathsf {CH}})$

즉, 이는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리로 증명하거나 반증할 수 없다.

역사

1911년에 프리드리히 파울 말로(독일어: Friedrich Paul Mahlo, 1883~1971)가 약한 말로 기수의 개념을 "ρ₀-수"(독일어: ρ₀-Zahl)라는 이름으로 1911년에 도입하였다.

정상 집합의 개념은 제라르 블로크(프랑스어: Gérard Bloch)가 1953년에 도입하였다.^:§1.1

포도르 정리는 포도르 게저(헝가리어: Fodor Géza, 1927~1977)가 1956년에 증명하였다. 솔로베이 정상 집합 분할 정리는 로버트 솔로베이가 1971년에 증명하였다.

다이아몬드 원리는 로널드 비언 젠슨(영어: Ronald Björn Jensen, 1936~)이 1972년에 도입하였다.

"클럽 집합"(영어: club set)이라는 이름은 영어로 "닫힌집합이자 비유계 집합"(영어: closed and unbounded)의 머리글자를 딴 것이다.^{:Definition 1.1}

외부 링크

• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Mahlo cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 4월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 11일에 확인함. 
• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Club sets and stationary sets”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 4월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 11일에 확인함. 
• Lipton, Richard J.; Regan, Kenneth W. (2015년 12월 16일). “A game on infinite trees”. 《Gödel’s Lost Letter and P=NP》 (영어). 
• “What is the idea behind stationary sets?” (영어). Math Overflow.