필터 (수학)

집합 $\{1,2,3,4\}$의 부분집합이 부분순서로 나열되어 있다. 원소 1을 포함하는 모든 집합(녹색)은 필터를 이룬다.

필터(filter)는 부분순서집합의 부분집합으로, 필터에 어떤 원소가 포함된다면 그 원소보다 큰 원소 또한 필터에 포함된다. 많은 경우 필터는 어떤 멱집합의 부분집합을 가리키며, 이 때 멱집합 내에서의 부분순서는 두 집합이 서로를 포함하는지로 결정된다.

정의

부분순서집합 $(P, \le)$에 대해, 다음의 성질을 만족하는 $P$의 부분집합 $F$을 필터로 정의한다.

1. $F$는 공집합이 아니다.
2. $F$에 속하는 임의의 $x, y$에 대하여, $z \le x, z \le y$인 $z$가 $F$에 존재한다.
3. $x$가 $F$의 원소이고 $x \le y$이면 $y$ 또한 $F$의 원소이다.
4. $F$는 $P$와 같지 않다. 정의에 따라 이 공리를 제외하기도 하며, 그 경우 이 공리를 따르면 proper filter로 부른다.

네 공리 중 앞의 두 개를 만족하는 경우는 필터기저(filter base)로 부른다.

어떤 원소 $p$를 포함하는 가장 작은 필터를 주 필터(principal filter)로 부르며, $\uparrow p$로 표기한다.

집합에서의 필터

집합 $S$에 대해, 멱집합 $\mathbf{B}(S)$와 부분집합 연산자 $(\mathbf{B}(S), \subseteq)$는 격자를 이루며, 이때 필터 $F$는 다음과 같이 정의된다.

1. $F$는 $S$를 포함한다.
2. $F$에 속하는 두 집합의 교집합 또한 $F$에 속한다. (유한 번의 교집합에 대해 닫힘)
3. 어떤 집합이 $F$의 원소 중 하나를 부분집합으로 가진다면, 그 집합 또한 $F$에 속한다.
4. $F$는 공집합을 원소로 갖지 않는다. 정의에 따라 이 공리를 제외하기도 하며, 그 경우 이 공리를 따르면 proper filter로 부른다.

이 정의는 위의 정의와 동치이다.

같이 보기

• 그물 (수학)