필터 (수학)

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집합 \{1,2,3,4\}의 부분집합이 부분순서로 나열되어 있다. 원소 1을 포함하는 모든 집합(녹색)은 필터를 이룬다.

순서론일반위상수학에서, 필터(영어: filter)는 대략 어떤 성질을 만족시키는 원소들의 집합을 나타내는 개념이다. 수열그물의 개념을 일반화시킨다.

정의[편집]

부분순서집합 (P, \le)필터 F\subset P는 다음 두 성질을 만족시키는, 공집합이 아닌 부분집합이다.

  • (하향성 영어: downward-directed) F에 속하는 임의의 x, y에 대하여, z \le x, z \le yzF에 존재한다.
  • (상향 닫힘 영어: upward-closed) xF의 원소이고 x \le y이면 y 또한 F의 원소이다.

만약 FP진부분집합이라면, F진필터(영어: proper filter)라고 한다. 만약 두 공리 가운데 전자만을 만족시킬 경우, 필터 기저(영어: filter base)라고 한다.

어떤 원소 p를 포함하는 가장 작은 필터를 주필터(영어: principal filter)로 부르며, \uparrow p로 표기한다.

집합론에서의 필터[편집]

집합론에서는 집합 S멱집합 (\mathcal P(S),\subset) 위의 필터들을 다룬다. 이 경우, S 위의 필터 F\subset\mathcal P(S)는 다음과 같다.

  • (유한 교집합에 대한 닫힘) 만약 A,B\in F라면, A\cap B\in F이다.
  • (포함집합에 대한 닫힘) 만약 B\supset A\in F라면, B\in F이다.
  • S\in F이다.

만약 \varnothing\not\in F라면, F진필터라고 한다. 이 정의는 더 일반적인 순서론적 정의의 특수한 경우이다.

집합 S 위의 여유한 부분집합들은 필터를 이루며, 이를 프레셰 필터(영어: Fréchet filter)라고 한다.

집합 S의 부분집합 C\in S를 포함하는 부분집합들

\{A\subset S\colon C\subset A\}\subset\mathcal P(S)

은 필터를 이룬다. 이는 C\in\mathcal P(S)주필터 \uparrow C이다.

위상수학에서의 필터[편집]

일반위상수학에서, 필터는 수열그물의 일반화로 사용되며, 수열·그물과 마찬가지로 필터의 수렴극한을 정의할 수 있다.

필터의 수렴[편집]

위상공간 X 속의 점 x\in X근방들의 집합 \mathcal N_x\subset\mathcal P(X)은 진필터를 이룬다. 이를 근방 필터(영어: neighborhood filter)라고 한다. 만약 x\in X의 근방 필터가 필터 \mathcal F의 부분필터라면 \mathcal Fx수렴한다(영어: converge)고 한다.

\mathcal F\to x\iff\mathcal N_x\subset\mathcal F

즉, x의 모든 근방\mathcal F에 속해야만 한다. 이 경우, x\mathcal F극한(영어: limit)이라고 한다. 만약 X하우스도르프 공간이라면, 모든 필터는 최대 하나의 극한을 갖는다.

수열과 그물의 유도 필터[편집]

유향집합 I에 대한 그물 n\colon I\to X유도 필터(영어: derived filter) \mathcal F_n은 다음과 같다.

\mathcal F_n=\{S\subset F|\exists i\in I\colon\{n(j)\colon i\le j\}\subset S\}

즉, 다음 성질을 만족시키는 부분집합 S\subset X들로 구성된 필터 \mathcal F_n이다.

충분히 큰 i\in I에 대하여, 그물 n의 꼬리 \{n(j)\colon i\le j\}S에 포함된다.

이는 필터를 이루며, 그물의 수렴은 그 유도 필터의 수렴과 동치이다.

수열그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다. 구체적으로, 수열 n\colon\mathbb N\to X유도 필터 \mathcal F_n는 다음과 같다.

\mathcal F_n=\{S\subset F|\exists i\in\mathbb N\forall j\ge i\colon n_j\in S\}

필터에 대응되는 그물[편집]

모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 진필터(기저)에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.

위상공간 X 위에 진필터기저 \mathcal F가 주어졌을 때, 집합 I=\{(x,A)\colon x\in A\in\mathcal F\}\subset X\times\mathcal F에 다음과 같은 준순서(preorder)를 줄 수 있다.

(x_1,A_1)\le(x_2,A_2)\iff A_1\supset A_2

그렇다면 (I,\le)유향집합을 이룬다. 진필터기저 \mathcal F유도 그물(영어: derived net) n\colon I\to X(I,\le) 위에 정의된 그물이며, 다음과 같다.

n\colon(x,A)\mapsto x

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]