그물 (수학)

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그물(net) 또는 (網), 무어-스미스 수열(Moore-Smith sequence)은 위상수학에서 사용하는 개념으로, 수열을 일반화한 것이다. 유사한 목적으로 개발된 개념으로 필터가 있다. 미국 수학자 얼라이어킴 헤이스팅스 무어(Eliakim Hastings Moore, E. H. Moore)와 허먼 라일 스미스(Herman Lyle Smith, Herman L. Smith)가 1922년 처음 도입하였다.[1]

이를 이용하는 것은 위상공간의 특성화에 수열을 이용할 경우, 때로 개념이 별로 적합하지 않을 수 있기 때문이다. 수열은 항상 자연수 집합에서 특정한 위상공간으로 가는 함수인데, 자연수 집합은 가산집합에 불과하기 때문에 제약이 많다. 예로, 수열과 연속성을 관련짓는 다음의 중요한 특성을 보자.

  1. 위상공간 X, Y가 주어져서 X에서 Y로 가는 함수 f가 연속이다.
  2. 임의의 x∈X에 대하여 x로 수렴하는 X의 수열 {xn}이 x로 수렴할 경우, {f(xn)}도 f(x)로 수렴한다.

이상의 조건에서 1이면 2 방향은 항상 성립하나, 2이면 1이 성립하여 위 두 조건이 동치가 되기 위해서는 X, Y가 제1가산공간이어야 한다. 그러나 수열이 아닌 그물 개념을 이용하면, 제1가산 조건에 무관하게 임의의 위상공간 X, Y에 대하여 위 두 조건이 동치가 된다.

정의[편집]

X를 임의의 위상공간이라 하자. 이때 X의 그물이란, 어떤 유향집합(directed set) A에 대하여 A에서 X로 가는 함수이다. 이 정의에서 그물은 수열의 자연스러운 일반화임을 알 수 있다. A의 각 원소 α에 대하여 수열과 비슷한 방식으로 (xα)와 같이 쓰기도 한다.

그물의 극한[편집]

(xα)를 A에서 X로 가는 그물이라 하자. 만약 어떤 X의 부분집합 Y⊆X에 대해 a∈A가 존재하여 모든 b≥a에 대하여 xb∈Y라면, 그물 (xα)가 최종적으로 Y에 속한다(eventually in Y)고 한다. 어떤 x∈X에 대하여 그물 (xα)가 x로 수렴한다(converges towards x) 또는 극한 x를 갖는다(has limit x)고 할 필요충분조건은 x의 임의의 근방 Ux에 대하여 (xα)가 최종적으로 Ux에 속하는 것이다.

그물 (xα)가 x로 수렴할 경우, 수열의 경우처럼 다음과 같이 쓴다.

\lim x_{\alpha} = x.

만약 X에 기저가 주어져 있을 경우, 그물이 x로 수렴하는 것을 보이기 위해서는 그물이 최종적으로 x를 포함하는 기저의 원소들에 속한다는 것만 보이면 된다.

상극한과 하극한[편집]

유향집합 A에서 실수로 가는 그물의 경우, 상극한을 수열의 경우와 유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.[2][3][4]

\limsup x_\alpha := \lim_{\alpha\in I} \sup_{\beta\succeq\alpha} x_\beta=\inf_{\alpha\in I} \sup_{\beta\succeq\alpha} x_\beta.

하극한 역시 반대로 하면 된다. 그물의 상극한과 하극한은 수열에서와 비슷한 성질을 갖는데, 예로 다음이 항상 성립한다.

 \limsup (x_\alpha+y_\alpha) \le \limsup x_\alpha+\limsup y_\alpha,

부등식에서 두 그물 중 하나가 수렴하면 등호가 성립한다.

관련 개념[편집]

A에서 X로 가는 그물 (xα)가 있다고 하자.

  • (xα)가 빈번히 Y에 속한다고 할 필요충분조건은, X의 부분집합 Y에 대해, 임의의 a∈A마다 적당한 b≥a가 존재하여 xb∈Y가 되는 것이다.
  • x∈X가 (xα)의 집적점(cluster point)일 필요충분조건은, x의 임의의 근방 Ux에 대하여 (xα)가 빈번히 Ux에 속하는 것이다.
  • (xα)가 극대망(極大網, ultranet, universal net) 또는 극대그물일 필요충분조건은, X의 임의의 부분집합 Y에 대하여 (xα)가 최종적으로 Y에 속하거나 최종적으로 X-Y에 속하는 것이다.

성질[편집]

  • 다음 두 성질은 동치이다.
    • 위상공간 X, Y가 주어져서 X에서 Y로 가는 함수 f가 연속이다.
    • 임의의 x∈X에 대하여 x로 수렴하는 X의 그물 {xα}이 x로 수렴할 경우, {f(xα)}도 f(x)로 수렴한다.
  • 일반적인 위상공간에서 그물은 하나 이상의 극한을 가질 수 있지만, 하우스도르프 공간에서 그물의 극한이 존재하면 유일하다.

이제 유향집합 A에서 위상공간 X로 가는 그물 (xα)를 생각하자.

  • U를 X의 부분집합이라 하자. x가 U의 닫힘에 속할 필요충분조건은 x로 수렴하는 U의 그물이 존재하는 것이다.
  • U를 X의 부분집합이라 하자. U가 닫힌 집합일 필요충분조건은 U의 그물의 극한이 항상 다시 U에 속하는 것이다.
  • (xα)의 집적점의 집합은 (xα)의 부분그물의 극한들을 모두 모은 집합과 같다.
  • (xα)이 극한을 가질 필요충분조건은 모든 부분그물이 극한을 갖는 것이다. 이때 (xα)의 모든 극한은 모든 부분그물의 극한이 된다.
  • X가 콤팩트 공간일 필요충분조건은 임의의 그물 (xα)이 X 안의 어떤 점으로 수렴하는 부분그물을 갖는 것이다. 이는 볼차노-바이어슈트라스 정리하이네-보렐 정리의 일반화로 볼 수 있다.
  • 곱위상이 주어진 곱공간의 그물이 극한을 가질 필요충분조건은 그물의 각 사영(projection, 정확히 말해 어떤 공간들의 곱공간에서 원래의 공간 중 하나로 내리는 사영사상과 원래 그물의 합성함수로 이루어지는 그물)이 극한을 갖는 것이다. 이 성질과 위의 콤팩트성에 대한 조건을 이용하면 티호노프의 정리를 쉽게 증명할 수 있다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. Moore, E. H.; Smith, H. L. (1922). "A General Theory of Limits". American Journal of Mathematics 44 (2): 102–121. doi:10.2307/2370388. JSTOR 2370388
  2. Aliprantis-Border, p.32
  3. Megginson, p.217, p.221, Exercises 2.53-2.55
  4. Beer, p.2

참고 문헌[편집]

  • Kelley, John L. (1991). General Topology. Springer. ISBN 3-540-90125-6.
  • Wilard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
  • Sundström, Manya Raman (2010). "A pedagogical history of compactness". arXiv:1006.4131v1 math.HO.
  • Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite dimensional analysis: A hitchhiker's guide (Third ed.). Berlin: Springer. pp. xxii+703 pp.. ISBN 978-3-540-32696-0, 3-540-32696-0. MR2378491.
  • Beer, Gerald (1993). Topologies on closed and closed convex sets. Mathematics and its Applications 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. xii+340. ISBN 0-7923-2531-1. MR1269778.
  • Megginson, Robert E. (1998). An Introduction to Banach Space Theory. Graduate Texts in Mathematics. 193. New York: Springer. ISBN 0-387-98431-3.
  • Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and its Foundations. San Diego: Academic Press. ISBN 126227608.