그물 (수학)

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위상수학에서, 그물(영어: net 네트[*]) 또는 무어-스미스 열(영어: Moore-Smith sequence)은 수열을 일반화시킨 개념이다. 수열과 달리, 그 지수가 자연수 대신 임의의 유향집합일 수 있다.

정의[편집]

위상 공간 X 위의 그물은 어떤 유향집합(directed set) A에 대하여 A에서 X로 가는 함수이다. 이 정의에서 그물은 수열의 자연스러운 일반화임을 알 수 있다. A의 각 원소 α에 대하여 수열과 비슷한 방식으로 (xα)와 같이 쓰기도 한다.

그물의 극한[편집]

(xα)를 A에서 X로 가는 그물이라 하자. 만약 어떤 X의 부분집합 Y⊆X에 대해 a∈A가 존재하여 모든 b≥a에 대하여 xb∈Y라면, 그물 (xα)가 최종적으로 Y에 속한다(eventually in Y)고 한다. 어떤 x∈X에 대하여 그물 (xα)가 x로 수렴한다(converges towards x) 또는 극한 x를 갖는다(has limit x)고 할 필요충분조건은 x의 임의의 근방 Ux에 대하여 (xα)가 최종적으로 Ux에 속하는 것이다.

그물 (xα)가 x로 수렴할 경우, 수열의 경우처럼 다음과 같이 쓴다.

\lim x_{\alpha} = x.

만약 X에 기저가 주어져 있을 경우, 그물이 x로 수렴하는 것을 보이기 위해서는 그물이 최종적으로 x를 포함하는 기저의 원소들에 속한다는 것만 보이면 된다.

상극한과 하극한[편집]

유향집합 A에서 실수로 가는 그물의 경우, 상극한을 수열의 경우와 유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.[1][2][3]

\limsup x_\alpha := \lim_{\alpha\in I} \sup_{\beta\succeq\alpha} x_\beta=\inf_{\alpha\in I} \sup_{\beta\succeq\alpha} x_\beta.

하극한 역시 반대로 하면 된다. 그물의 상극한과 하극한은 수열에서와 비슷한 성질을 갖는데, 예로 다음이 항상 성립한다.

 \limsup (x_\alpha+y_\alpha) \le \limsup x_\alpha+\limsup y_\alpha,

부등식에서 두 그물 중 하나가 수렴하면 등호가 성립한다.

관련 개념[편집]

A에서 X로 가는 그물 (xα)가 있다고 하자.

  • (xα)가 빈번히 Y에 속한다고 할 필요충분조건은, X의 부분집합 Y에 대해, 임의의 a∈A마다 적당한 b≥a가 존재하여 xb∈Y가 되는 것이다.
  • x∈X가 (xα)의 집적점(cluster point)일 필요충분조건은, x의 임의의 근방 Ux에 대하여 (xα)가 빈번히 Ux에 속하는 것이다.
  • (xα)가 극대망(極大網, ultranet, universal net) 또는 극대그물일 필요충분조건은, X의 임의의 부분집합 Y에 대하여 (xα)가 최종적으로 Y에 속하거나 최종적으로 X-Y에 속하는 것이다.

성질[편집]

점열은 위상 공간의 각종 특성을 정의하는 데 자연스럽지 못한 경우가 많다. 이는 점열이 자연수를 정의역으로 갖는데, 자연수 집합은 가산 집합이므로 지나치게 작기 때문이다. 예를 들어, 일반적인 위상 공간에서는 다음 두 조건이 동치가 아니다.

  1. 위상 공간 X, Y가 주어져서 X에서 Y로 가는 함수 f가 연속이다.
  2. 임의의 x∈X에 대하여 x로 수렴하는 X의 수열 {xn}이 x로 수렴할 경우, {f(xn)}도 f(x)로 수렴한다.

1번 조건은 2번 조건을 항상 함의하나, X, Y가 제1 가산 공간일 경우에만 두 조건이 동치가 된다. 그물을 사용하면 이러한 문제가 발생하지 않는다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 X, Y 및 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • f연속 함수이다.
  • 임의의 x\in X에 대하여, 만약 그물 x_\alpha\in Xx로 수렴한다면, f(x_\alpha) 역시 f(x)로 수렴한다.

일반적인 위상 공간에서 그물은 하나 이상의 극한을 가질 수 있지만, 하우스도르프 공간에서 그물의 극한이 존재하면 유일하다.

이제 유향집합 A에서 위상 공간 X로 가는 그물 (xα)를 생각하자.

  • U를 X의 부분집합이라 하자. x가 U의 닫힘에 속할 필요충분조건은 x로 수렴하는 U의 그물이 존재하는 것이다.
  • U를 X의 부분집합이라 하자. U가 닫힌 집합일 필요충분조건은 U의 그물의 극한이 항상 다시 U에 속하는 것이다.
  • (xα)의 집적점의 집합은 (xα)의 부분그물의 극한들을 모두 모은 집합과 같다.
  • (xα)이 극한을 가질 필요충분조건은 모든 부분그물이 극한을 갖는 것이다. 이때 (xα)의 모든 극한은 모든 부분그물의 극한이 된다.
  • X가 콤팩트 공간일 필요충분조건은 임의의 그물 (xα)이 X 안의 어떤 점으로 수렴하는 부분그물을 갖는 것이다. 이는 볼차노-바이어슈트라스 정리하이네-보렐 정리의 일반화로 볼 수 있다.
  • 곱위상이 주어진 곱공간의 그물이 극한을 가질 필요충분조건은 그물의 각 사영(projection, 정확히 말해 어떤 공간들의 곱공간에서 원래의 공간 중 하나로 내리는 사영사상과 원래 그물의 합성함수로 이루어지는 그물)이 극한을 갖는 것이다. 이 성질과 위의 콤팩트성에 대한 조건을 이용하면 티호노프의 정리를 쉽게 증명할 수 있다.

역사[편집]

미국 수학자 얼라이어킴 헤이스팅스 무어(Eliakim Hastings Moore, E. H. Moore)와 허먼 라일 스미스(Herman Lyle Smith, Herman L. Smith)가 1922년 처음 도입하였다.[4]

유사한 목적으로 개발된 개념으로 필터가 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Aliprantis-Border, p.32
  2. Megginson, p.217, p.221, Exercises 2.53-2.55
  3. Beer, p.2
  4. Moore, E. H.; Smith, H. L. (1922). "A General Theory of Limits". American Journal of Mathematics 44 (2): 102–121. doi:10.2307/2370388. JSTOR 2370388
  • Kelley, John L. (1975). 《General topology》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 27 (2판판). Springer. ISBN 0-387-90125-6. ISSN 0072-5285. Zbl 0306.54002. 
  • Wilard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
  • Sundström, Manya Raman (2010). "A pedagogical history of compactness". arXiv:1006.4131v1 math.HO.
  • Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite dimensional analysis: A hitchhiker's guide (Third ed.). Berlin: Springer. pp. xxii+703 pp.. ISBN 978-3-540-32696-0, 3-540-32696-0. MR 2378491.
  • Beer, Gerald (1993). Topologies on closed and closed convex sets. Mathematics and its Applications 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. xii+340. ISBN 0-7923-2531-1. MR 1269778.
  • Megginson, Robert E. (1998). An Introduction to Banach Space Theory. Graduate Texts in Mathematics. 193. New York: Springer. ISBN 0-387-98431-3.
  • Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and its Foundations. San Diego: Academic Press. ISBN 126227608.
  • Bartle, R. G. (1955-10). “Nets and filters in topology” (영어). 《The American Mathematical Monthly》 62 (8): 551–557. doi:10.2307/2307247. JSTOR 2307247. MR 0073153. Zbl 0065.37901. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]