명제

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명제(命題)는 논리학적으로 뜻이 분명한 문장을 말한다. 즉, 어떤 말을 딱 본 순간 '참' 혹은 '거짓'을 대번에 알 수 있는 말을 말한다. 더 이상 따지려고 들지 말라. 더 엄밀한 수학적 정의는 없어 보인다. 명제는 거의 대부분의 인간들이 즉각, 맞다 틀리다 말할 수 있는 말이다. 여기에 특정 가치관이 끼어들 여지는 거의 없다. 그래서 다음과 같이 가치관이나 개인의 기호가 반영된 말은 명제가 아니다.

정의[편집]

논리학과 철학에서 명제란 (a)의미있는 평서문의 "내용"이나 "의미", 또는 (b) 의미있는 평서문을 구성하는 기호, 표시, 소리의 패턴을 말한다. 명제의 의미는 참이거나 거짓인 특성이나 속성을 포함한다. 이 때 명제의 의미가 반드시 참일 필요는 없다. 명제의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

  • “소크라테스는 사람이다.”
  • “닭은 동물이다.”
  • “6 × 2 = 15이다.”
  • “파리는 일본의 수도이다.”

첫 두 개의 명제는 참인 명제이고, 뒷 두 개는 거짓인 명제이다. 명제가 아닌 문장의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

  • “소크라테스는 누구인가?”
  • “저곳으로 가라.”
  • “재즈 음악은 아름답다.”
  • x + 3 = 7이다.”

첫 두 개의 문장은 참·거짓이 없으므로 명제가 아니다. 세 번째 문장은 사람에 따라 참인가 거짓인가가 달라질 수 있기 때문에 명제가 아니다. 네 번째 문장은 x의 값에 따라 참일 수도 거짓일 수도 있으므로 명제가 아니다.

단순명제와 합성명제[편집]

더 이상 간단한 명제로 분해할 수 없는 긍정형의 명제를 단순명제(primary statement)라고 한다. 예를 들어 “소크라테스는 사람이다.” 등이 단순명제가 된다. 또 하나 이상의 명제와 논리 연산 그리고 괄호로 이루어진 명제를 합성명제(compound statement)라고 한다. 예를 들어 “조지 워싱턴은 미국인이고 베이징은 독일의 수도이다.” 등이 합성명제가 된다. 복합명제, 겹명제라고도 한다.

명제의 부정[편집]

예를 들어 '소크라테스는 사람이다'라는 명제가 있다고 가정해보자. 명제를 p 라 할때에, (명제는 주로 p,q,r로 나타낸다) 명제 '소크라테스는 사람이 아니다'를 명제 p의 부정이라 하고 기호로는 ~p 로 나타내며, p가 아니다 또는 not p라고 읽는다. 명제 p가 참이면 명제의 부정 ~p는 반드시 거짓이다. 또한 ~p의 부정은 p이다. 기호로 나타내자면

~(~p)=p 인 것이다.

조건의 부정[편집]

두 명제 또는 조건 p,q에 대하여

(1)~(~p)= p
(2)~(p 또는q) = ~p 그리고 ~q
(3)~(p 그리고 q) = ~p 또는 ~q

이에 대한 관계의 해석은 진부분 집합을 이용하여 증명한다.

즉 명제의 부정은 여집합과 대응되는 관계이므로 여집합의 성질을 이용하여 명제의 부정에 대한 성질이 위와 같이 성립함을 알 수 있다.

'모든'이나 '어떤'이 들어있는 명제[편집]

문장 'x는 5의 약수이다.'는 조건이지만 다음 각 문장들은 참과 거짓이 판별가능하다.

  • '모든 자연수 x는 7의 약수이다.' - 거짓인 명제
  • '어떤 자연수 x는 7의 약수이다.' - 참인 명제

'모든'이나 '어떤'이 들어있는 명제의 부정[편집]

~(모든 x에 대하여 p(x)) --> 어떤 x에 대하여 ~p(x)
~(어떤 x에 대하여 p(x)) --> 모든 x에 대하여 ~p(x)

같이 보기[편집]