알레프 수

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집합론에서, 알레프 수(ℵ數, 영어: aleph number)는 무한 기수를 나타내는 표기법이다. 기수고유모임정렬순서를 가지므로, 이에 따라 무한 기수를 순서수일대일 대응시킨다.

정의[편집]

편의상, 체르멜로-프렝켈 집합론선택 공리를 가정하고, 존 폰 노이만의 순서수의 정의(순서수는 그보다 작은 모든 순서수의 집합)를 사용하자. 기수 \kappa바로 다음 기수(영어: successor cardinal)는 다음과 같다.

\kappa^+=\left|\operatorname{inf}\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\kappa<|\alpha|\}\right|

하르톡스의 정리에 따라 이 하한은 항상 존재한다. 여기서 부등식은 기수의 부등식이다.

순서수 \alpha에 대하여, 알레프 수 \aleph_\alpha는 다음과 같이 초한귀납법으로 정의된다.

성질[편집]

알레프 수순서수고유모임 \operatorname{Ord}에서 기수고유모임 \operatorname{Card}으로 가는 "함수"이다. (물론, 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정의역공역이 집합이 아니므로 이는 엄밀히 말해 함수가 될 수 없다.) 이는 "단사함수"이며, 그 ""은 무한 기수이다. 따라서, 모든 순서수 \alpha에 대하여,

\aleph_\alpha<\kappa<\aleph_{\alpha+1}

인 기수 \kappa는 존재하지 않는다.

연속체 가설[편집]

일반화 연속체 가설에 따르면,

\aleph_\alpha=\beth_\alpha

가 성립한다. 여기서 \beth_\alpha베트 수이다. 이 명제는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 독립적이다 (즉, 증명하거나 반증할 수 없다). 또한, 대부분의 큰 기수 공리들을 추가해도 이는 변함이 없다. 위 가설에서 \alpha=1인 특수한 경우

\aleph_1=2^{\aleph_0}

연속체 가설이라고 불리며, 역시 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론큰 기수 공리들에 대하여 독립적이다.

[편집]

0[편집]

\aleph_0가산 무한 집합크기이다. 예를 들어, 자연수의 집합 \mathbb N, 정수의 집합 \mathbb Z, 유리수의 집합 \mathbb Q 등이 이 크기이다.

\aleph_0=|\mathbb N|=|\mathbb Z|=|\mathbb Q|

1[편집]

\aleph_1은 가장 작은 비가산 기수이다. 이는 모든 가산 순서수들의 집합의 크기이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 연속체 가설이 독립적이므로, 실제로 크기가 \aleph_1이라고 증명할 수 있는 집합들은 그리 많지 않다.

ω[편집]

\omega가 가장 작은 무한 순서수라고 하자. \aleph_\omega\{\aleph_n\colon n\in\mathbb N\}상한이다. 또한, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서

2^{\aleph_0}<\kappa

임을 증명할 수 있는 가장 작은 기수 \kappa이다.

역사[편집]

이 표기법은 게오르크 칸토어기수순서수 이론을 정의하면서 도입하였다. 알레프(ℵ)는 히브리 문자의 첫 글자이다. 칸토어가 왜 이 글자를 골랐는지는 확실하지 않다. 칸토어 자신이 유대인인지는 확실하지 않지만, 칸토어의 아내 발리 구트만(독일어: Vally Guttman)은 유대인이었다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Grattan-Guinness, Ivor (1971년). Towards a biography of Georg Cantor. 《Annals of Science》 27: 345–391. doi:10.1080/00033797100203837.
  • (영어) Roitman, Judith (2011년). 《Introduction to modern set theory》. Virginia Commonwealth University. ISBN 978-0-9824062-4-3

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]