알레프 수

알레프 수는 무한집합의 크기를 순서대로 배열한 기수로, 히브리 문자 알레프($\aleph$)를 사용하여 나타낸다. 자연수 집합의 크기를 알레프-0($\aleph_0$)으로 나타내고, 그 다음으로 큰 집합의 크기를 $\aleph_1$, $\aleph_2$와 같이 붙인다.

이러한 개념은 게오르크 칸토어가 처음으로 생각해 냈으며, 칸토어는 무한집합들 사이에도 서로 크기가 다를 수 있다는 것을 밝혀냈다.

알레프 수는 흔히 무한을 나타내는 기호인 ∞와는 다르다. 알레프는 집합의 크기를 나타내는 기호이고, ∞는 실수 직선의 극한이나 확장된 실수의 극점 등을 의미하며, 기수와는 관계가 없다.

알레프-0

알레프-0($\aleph_0$)은 전체 자연수 집합의 크기(농도)로, 모든 무한 가산집합의 크기는 알레프-0이다.

알레프-1

알레프-1($\aleph_1$)은 모든 가산 서수들의 집합의 크기로 정의된다. 정의에 따라 알레프-0과 알레프-1 사이에는 다른 기수가 존재하지 않으며, 따라서 알레프-1은 알레프-0 다음으로 큰 서수가 된다.

연속체 가설

연속체 가설 문서를 참고하십시오.

실수 집합의 크기, 즉 $2^{\aleph_0}$는 알레프-0보다는 큰 기수로, 알레프-1과 같거나 크다. 이때 실수 집합의 크기와 알레프-1이 같은지를 묻는 것이 연속체 가설이다, 이것은 체르멜로-프란켈 집합론 내에서 무모순이고 다른 공리와 독립이라는 것이 증명되었다. 즉, 두 기수가 같다는 공리를 새로 도입하거나 혹은 두 기수가 다르다는 공리를 모순 없이 도입할 수가 있다.