영집합

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영집합(null set), 공집합측도가 0인 집합을 의미한다.

영집합을 제외한 모든 원소에 대해 어떤 성질이 성립하는 경우, 그 성질이 거의 모든 원소에 대해 성립한다고 표기한다.

영집합의 정의를 측도가능한 집합이 아닌 경우에 대해서도 확장할 수 있다. 이 경우, 그 집합의 측도가능한 부분집합의 측도가 0인 집합을 영집합으로 정의한다.

예제[편집]

르베그 측도를 사용하는 경우, 원소 하나로 이루어진 집합의 측도는 0이고, 측도의 성질에 따라서 가산집합의 측도도 0이 된다. 예를 들어, 유리수의 집합 \mathbb{Q}는 측도가 0이다. 반면, 칸토어 집합은 비가산집합이지만 역시 측도는 0이다.

성질[편집]

두 함수 f, g가 영집합을 제외한 모든 점에 대해 같은 값을 가질 때, 함수 f가 적분가능할 조건과 g가 적분가능할 조건은 같다. 또한, 적분가능할 경우 두 함수의 적분값은 같다.

영집합의 모든 부분집합이 측도가능할 경우, 그 측도를 완비측도라고 정의한다. 이 경우 그 부분집합은 역시 영집합이 된다.

출처[편집]

  • H. L. Royden. Real Analysis. 3rd ed. 1988. Prentice Hall.