영집합

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측도론에서, 영집합(零集合, 영어: null set)은 매우 작아 무시할 수 있는 측도공간의 부분집합이다.

정의[편집]

측도공간 (X,\Sigma,\mu)에서, 만약 집합 S\subset X이 측도가 0인 가측집합의 부분집합이라면, SX영집합이라고 한다.

만약 어떤 명제가 X 위에서 성립하지 않는 점들의 집합이 영집합이라면, 이 명제가 X거의 어디서나 성립한다고 표기한다.

예제[편집]

르베그 측도를 사용하는 경우, 원소 하나로 이루어진 집합의 측도는 0이고, 측도의 성질에 따라서 가산집합의 측도도 0이 된다. 예를 들어, 유리수의 집합 \mathbb{Q}는 측도가 0이다. 반면, 칸토어 집합은 비가산집합이지만 역시 측도는 0이다.

성질[편집]

두 함수 f, g가 영집합을 제외한 모든 점에 대해 같은 값을 가질 때, 함수 f가 적분가능할 조건과 g가 적분가능할 조건은 같다. 또한, 적분가능할 경우 두 함수의 적분값은 같다.

영집합의 모든 부분집합이 가측집합일 경우, 그 측도를 완비 측도라고 정의한다. 이 경우 그 부분집합은 역시 영집합이 된다.

참고 문헌[편집]

  • H. L. Royden. Real Analysis. 3rd ed. 1988. Prentice Hall.