칸토어 집합

칸토어 집합(Cantor set)은 0과 1 사이의 실수로 이루어진 집합으로, $[0, 1]$부터 시작하여 각 구간을 3등분하여 가운데 구간을 반복적으로 제외하는 방식으로 만들어진다. 이 집합은 어느 부분도 조밀집합이 아닌 완전집합이다.

칸토어 집합을 제작하기 위해 7번 반복한 과정

과정

칸토어 집합은 다음과 같이 만들어진다.

1. 처음 구간은 $[0,1]$에서 시작한다.
2. $[0, 1]$ 구간을 3등분한 후, 가운데 개구간 $\left(\frac 1 3, \frac 2 3 \right)$을 제외한다. 그러면 $\left[0, \frac 1 3 \right] \cup \left[\frac 2 3, 1 \right]$가 남는다.
3. 두 구간 $\left[0, \frac 1 3 \right]$, $\left[\frac 2 3, 1 \right]$의 가운데 구간을 제외한다. $\left[0, \frac 1 9 \right] \cup \left[\frac 2 9, \frac 1 3 \right] \cup \left[\frac 2 3, \frac 7 9 \right] \cup \left[\frac 8 9, 1 \right]$
4. 계속해서 반복한다.

또는, 앞 단계의 구간을 $\frac 1 3$크기로 줄인 다음 두 개를 배치하는 방식으로도 같은 집합을 얻을 수 있다. 즉,

$\begin{align} C_0 &= [0,1] \\ C_n &= \frac{C_{n-1}}{3} \cup \left(\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3}\right) \end{align}$

이 된다.

성질

칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 빠지는 구간의 길이는 $\frac 1 3, \frac 2 9, \frac 4 {27}, \cdots$이 된다. 이 길이를 모두 합하면

$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1$

이 된다. 즉, 칸토어 집합은 르베그 측도가 0이다.

칸토어 집합에 포함되는 수는 삼진법 소수로 표기했을 때 모든 자릿수가 0 또는 2가 된다. 이것은 칸토어 집합을 만드는 각 단계마다 자릿수에 1이 있는 수를 점차적으로 제거하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 첫 번째 단계에는 $0.1xxx\cdots_{(3)}$가 빠지고, 두 번째 단계에는 $0.01xxx\cdots_{(3)}$과 $0.21xxx\cdots_{(3)}$가 빠지는 과정이 계속해서 일어난다. 또한 이것을 이용해 칸토어 집합의 수를 0과 1 사이의 모든 실수와 일대일대응할 수 있는데, 3진수 각 자릿수의 2를 2진수에서의 1로 대응한다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$f \left( \sum_{k=1}^\infty a_k 3^{-k} \right) = \sum_{k=1}^\infty (a_k/2) 2^{-k}$

따라서 칸토어 집합은 비가산 집합이다.

이 집합은 자기닮음 성질을 가지고 있다. 칸토어 집합을 $\frac 1 3$ 크기로 줄이면 원래 칸토어 집합의 왼쪽 부분과 같다.

칸토어 집합의 하우스도르프 차원은 $\frac {\ln 2}{\ln 3}$ 이다.