공간 채움 곡선

수학에서 공간 채움 곡선(영어: space-filling curve) 또는 페아노 곡선(영어: Peano curve)은 모든 점을 적어도 한 번 이상 지나는, 2차원 이상의 공간 위의 곡선이다.

정의

위상 공간 $X$으로 가는 전사 연속 함수 $[0,1]\to X$은, $X$가 2차원 이상의 다양체인 경우 흔히 공간 채움 곡선이라고 부른다.

성질

한-마주르키에비치 정리

한-마주르키에비치 정리(영어: Hahn–Mazurkiewicz theorem)에 따르면, 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 전사 연속 함수 $[0,1]\to X$가 존재한다.
• 콤팩트 공간이며, 연결 공간이며, 국소 연결 공간이며, 거리화 가능 공간이다.
• 콤팩트 공간이며, 연결 공간이며, 국소 연결 공간이며, 제2 가산 공간이다.

네토 정리

$m$차원 매끄러운 다양체 $M$ 및 $n$차원 매끄러운 다양체 $N$이 주어졌다고 하자. 네토 정리(영어: Netto’s theorem)에 따르면, 만약 $m\neq n$이라면, 전단사 연속 함수 $M\to N$은 존재하지 않는다.