하우스도르프 차원

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그레이트브리튼 섬 해안선의 하우스도르프 차원의 근사값을 구하는 방법.

하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)은 거리공간의 부분집합의 차원을 음이 아닌 자연수에서 음이 아닌 실수로 확장한 것이다. 펠릭스 하우스도르프의 이름을 땄다.

개념[편집]

집합 S와 반지름 r이 주어졌을 때, SN(r)개의 으로 덮을 수 있다고 하자. 하우스도르프 차원 dr0으로 갈 때 N(r)\left(\frac{1}{r}\right)^d로 수렴하게 만드는 유일한 실수 d를 말한다.

정의[편집]

거리공간 X의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.

\operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X) := \inf {\left\{ d \ge 0 : \operatorname{H}^d(X) = 0 \right\} }

(단, \operatorname{H}^d(X)Xd차원에서의 하우스도르프 측도.)

[편집]

  • 유클리드 공간 \mathbb{R}^n의 하우스도르프 차원은 n이다.
  • S^1의 하우스도르프 차원은 1이다.
  • 가산 집합의 하우스도르프 차원은 0이다.
  • 칸토르 집합은 자기 자신과 닮았고 크기가 \frac{1}{3}인 두 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원은 \frac{\log{2}}{\log{3}}\approx0.63이다.
  • 시어핀스키 삼각형은 자기 자신과 닮았고 크기가 \frac{1}{2}인 세 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원은 \frac{\log{3}}{\log{2}}\approx1.58이다.

같이 보기[편집]