하우스도르프 차원

그레이트브리튼 섬 해안선의 하우스도르프 차원의 근사값을 구하는 방법.

하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)은 거리공간의 부분집합의 차원을 음이 아닌 자연수에서 음이 아닌 실수로 확장한 것이다. 펠릭스 하우스도르프의 이름을 땄다.

개념 [편집]

집합 S와 반지름 r이 주어졌을 때, S를 N(r)개의 공으로 덮을 수 있다고 하자. 하우스도르프 차원 d는 r이 0으로 갈 때 N(r)이 1/r^d로 수렴하게 만드는 유일한 실수 d를 말한다.

거리공간 $X$ 의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.

$\operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X) := \inf {\left\{ d \ge 0 : \operatorname{H}^d(X) = 0 \right\} }$

(단, $\operatorname{H}^d(X)$ 는 $X$ 의 $d$ 차원에서의 하우스도르프 측도.)

유클리드 공간 Rⁿ의 하우스도르프 차원은 n이다.
원 S¹의 하우스도르프 차원은 1이다.
가산 집합의 하우스도르프 차원은 0이다.
칸토르 집합은 자기 자신과 닮았고 크기가 1/3인 두 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원은 ln(2)/ln(3) ≈ 0.63이다.
시어핀스키 삼각형은 자기 자신과 닮았고 크기가 1/2인 세 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원은 ln(3)/ln(2) ≈ 1.58이다.